Конденсаторы и ключ

В первом положении конденсаторы \(C\) и \(2C\) соединены последовательно и заряжаются от ЭДС. Во втором положении заряд на \(2C\) перераспределяется между \(2C\) и \(3C\), пока потенциалы не выровняются.

а) После замыкания ключа в положении 1 конденсаторы зарядятся. Обозначим заряды на конденсаторах как показано на рисунке 5.1:

Конденсаторы \(C\) и \(2C\) в этом случае соединены последовательно, поэтому \(q_1 = q_2 = q\). Для цепи можно записать уравнение: \[\mathcal{E} = \frac{q}{C} + \frac{q}{2C}, \quad \text{откуда} \quad q = \frac23 C\mathcal{E}.\] Работа ЭДС пойдёт на приращение энергии конденсаторов и на выделение тепла на резисторах: \[\mathcal{E}q = \frac{q^2}{2C} + \frac{q^2}{2\cdot 2C} + Q_1.\] Тогда \[Q_1 = \frac23 C\mathcal{E}^2 - \frac32\cdot\frac{(2/3\,C\mathcal{E})^2}{2C} = \frac13 C\mathcal{E}^2.\]

б) При переключении ключа \(K\) в положение 2 пойдёт процесс перезарядки конденсаторов с выделением тепла на резисторах. В данном случае конденсаторы \(2C\) и \(3C\) не будут соединены последовательно, т.к. на конденсаторе \(2C\) перед переключением был заряд. Обозначим новые заряды на конденсаторах как показано на рисунке 5.2:

Из закона сохранения заряда: \(q = q_2 = q_2' + q_3'\). Ток прекратится, когда на конденсаторах выровняются потенциалы: \(\dfrac{q_2'}{2C} = \dfrac{q_3'}{3C}\). Тогда \[q_2' = \frac25 q = \frac{4}{15}C\mathcal{E}, \qquad q_3' = \frac35 q = \frac25 C\mathcal{E}.\] Энергия, запасённая в конденсаторе \(2C\), перераспределится между конденсаторами \(2C\) и \(3C\), часть уйдёт в тепло: \[\frac{q_2^2}{2\cdot 2C} = \frac{q_2'^2}{2\cdot 2C} + \frac{q_3'^2}{2\cdot 3C} + Q_2,\] откуда \[Q_2 = \frac{1}{15}C\mathcal{E}^2.\]

в) Заряд, протекший через ключ после переключения в положение 2: \[\Delta q = |q_2 - q_2'| = |q_3'| = \frac25 C\mathcal{E}.\]