Груз на подставке и пружина

До отрыва груз движется с ускорением, а после отрыва совершает гармонические колебания вокруг положения равновесия пружины. Найдите фазу колебаний в момент отрыва.

Рассмотрим сначала движение груза вместе с подставкой. Направим ось \(x\) вниз и будем отсчитывать координату груза от начального положения, в котором пружина не растянута. За начало отсчёта времени выберем момент начала движения. Запишем для груза второй закон Ньютона в проекции на ось \(x\): \[ma = mg - kx - N,\] где \(m\) — масса груза, \(k\) — жёсткость пружины, \(N\) — сила нормальной реакции, действующая со стороны подставки. Пусть \(x_0\) — координата груза в момент отрыва от подставки. Учитывая, что в этот момент сила \(N\) обращается в нуль, получаем: \[ma = mg - kx_0 \quad\Rightarrow\quad x_0 = \frac{m}{k}(g-a) = \frac{g-a}{\omega^2},\] где \(\omega = \sqrt{k/m}\) — частота свободных колебаний груза на пружине. Найдём скорость \(V_0\), которую имеет груз в момент отрыва: \[V_0 = at, \qquad x_0 = \frac{at^2}{2} \quad\Rightarrow\quad x_0 = \frac{V_0^2}{2a} \quad\Rightarrow\quad V_0 = \sqrt{2ax_0} = \frac{\sqrt{2a(g-a)}}{\omega}.\] После отрыва груз совершает гармонические колебания с частотой \(\omega\). Найдём координату положения равновесия \(x_p\): \[kx_p = mg \quad\Rightarrow\quad x_p = \frac{mg}{k} = \frac{g}{\omega^2}.\] Для описания колебаний введём новую координату \(y = x - x_p\), отсчитанную от положения равновесия. Время будем отсчитывать от момента отрыва. Начальное значение координаты \(y\) равно: \[y_0 = x_0 - x_p = \frac{g-a}{\omega^2} - \frac{g}{\omega^2} = -\frac{a}{\omega^2}.\] Начальная скорость груза равна \(V_0\). Зависимости от времени координаты и скорости груза при колебаниях определяются соотношениями: \[y = A\sin(\omega t+\varphi), \qquad V_y = \omega A\cos(\omega t+\varphi),\] где \(A\) — амплитуда колебаний (положительная величина), \(\varphi\) — начальная фаза. Полагая \(t = 0\), получаем: \[y_0 = A\sin\varphi, \qquad V_0 = \omega A\cos\varphi.\] Так как \(y_0 < 0\), то угол \(\varphi\) лежит в четвёртой четверти. Выразим его через арктангенс: \[\operatorname{tg}\varphi = \frac{\omega y_0}{V_0} = -\frac{a}{\sqrt{2a(g-a)}} = -\sqrt{\frac{a}{2(g-a)}} \quad\Rightarrow\quad \varphi = -\operatorname{arctg}\sqrt{\frac{a}{2(g-a)}}.\] В момент времени \(\tau\), когда пружина растянута на максимальную длину, скорость груза обращается в нуль: \[V_y = 0 \quad\Rightarrow\quad \cos(\omega\tau+\varphi) = 0 \quad\Rightarrow\quad \omega\tau+\varphi = \frac{\pi}{2} \quad\Rightarrow\quad \tau = \frac{1}{\omega}\left(\frac{\pi}{2}-\varphi\right).\] Полагая \(\omega = 2\pi/T\), получаем: \[\tau = \frac{T}{2\pi}\left(\frac{\pi}{2}-\varphi\right) = \frac{T}{4} + \frac{T}{2\pi}\operatorname{arctg}\sqrt{\frac{a}{2(g-a)}}.\] Этот результат можно получить по-другому, представив \(\tau\) в виде \(\tau = \tau' + \dfrac{T}{4}\), где \(\tau'\) — время движения от момента отрыва до положения равновесия, \(T/4\) — время движения от положения равновесия до момента максимального удлинения пружины. Для \(\tau'\) имеем: \[y = 0 \quad\Rightarrow\quad \sin(\omega\tau'+\varphi) = 0 \quad\Rightarrow\quad \omega\tau'+\varphi = 0 \quad\Rightarrow\quad \tau' = -\frac{\varphi}{\omega} = \frac{T}{2\pi}\operatorname{arctg}\sqrt{\frac{a}{2(g-a)}}.\] При \(a = \dfrac{2g}{5}\) результат для \(\tau\) упрощается: \[\tau = \frac{T}{4} + \frac{T}{2\pi}\operatorname{arctg}\frac{1}{\sqrt3} = \frac{T}{4} + \frac{T}{2\pi}\cdot\frac{\pi}{6} = \frac{T}{3}.\]