Заряды в вершинах куба

Энергия системы — сумма энергий всех попарных взаимодействий. Подумайте, какие пары зарядов выгодно делать разноимёнными и как расставить заряды, как в кристаллической решётке.

Энергия электростатического взаимодействия представляет собой сумму всех энергий попарных взаимодействий. В кубе все заряды могут находиться друг от друга на расстоянии \(a\) (ближайшие соседи, вдоль ребра), \(\sqrt2\,a\) (по диагоналям граней куба), \(\sqrt3\,a\) (диаметрально противоположные точки). Обозначим их соседями первого, второго и третьего типа соответственно. Нетрудно заметить, что соседей первого типа — 12, второго — 12, третьего — 4. Энергия взаимодействия каждой пары: \[W_1 = \pm\frac{kq^2}{a}; \qquad W_2 = \pm\frac{kq^2}{\sqrt2\,a} = \pm\frac{1}{\sqrt2}W_1; \qquad W_3 = \pm\frac{kq^2}{\sqrt3\,a} = \pm\frac{1}{\sqrt3}W_1.\] Нетрудно догадаться, что для того, чтобы минимизировать общую энергию, надо создать как можно больше разноимённых соседей первого типа. Существует конфигурация, где все соседи первого типа — разноимённые, например ячейка кристаллической решётки NaCl:

У такой решётки все соседи второго типа одноимённые, а третьего — разноимённые. Тогда энергия равна: \[W = -12W_1 + 12W_2 - 4W_3 = W_1\left(-12+\frac{12}{\sqrt2}-\frac{4}{\sqrt3}\right) \simeq -5{,}82\,W_1.\] Эта энергия является минимальной.

В силу высокой симметрии куба расстановок зарядов в вершинах, не переводимых друг в друга вращениями и зеркальными отображениями, не так много. Все они получаются из перестановок зарядов вышеуказанной конфигурации вдоль вертикальных рёбер (т.е. перестановка заряда из верхней грани с его соседом снизу). Необходимо доказать, что данная конфигурация обладает наименьшей энергией. Допускается обоснованный перебор вариантов.

Также доказать, что данная энергия минимальна, можно, исходя из оценки энергии одного заряда. Возьмём произвольный заряд \(+q\). Для того чтобы минимизировать его энергию, будем располагать заряды следующим образом: заряды \(-q\) расположим в качестве ближайших соседей (3 шт.), ещё один \(-q\) будет соседом второго типа, 4 заряда \(+q\) займут оставшиеся места. Такое расположение отличается от оптимального ровно одной перестановкой, и энергия всей системы в данном случае будет больше, т.к. энергии всех остальных зарядов сильно вырастут за счёт большого количества одноимённых соседей первого типа.

Ключевая особенность расположения: минимум энергии системы не соответствует минимуму для каждого заряда.