Заряженные шарики на резиновом шнуре

Жёсткость отрезка шнура обратно пропорциональна его длине. В момент наибольшего растяжения скорости шариков равны нулю, поэтому убыль электростатической энергии идёт на упругую энергию шнура.

\(L_{\min}=\sqrt{\dfrac{q^2k_0L_0}{2\pi\varepsilon_0T\,(T+k_0L_0)}}\).

Если жёсткость шнура длиной \(L_0\) равна \(k_0\), то при длине \(L\) коэффициент жёсткости равен \(k=\dfrac{k_0L_0}{L}\).

Удлинение шнура до разрыва \(\Delta L=\dfrac{T}{k}=\dfrac{TL}{k_0L_0}\). Энергия, запасённая в шнуре до разрыва, \[U=\frac{k\,\Delta L^2}{2}=\frac{T^2}{2k}=\frac{T^2L}{2k_0L_0}.\]

Запишем закон сохранения энергии для начального недеформированного шнура и шнура перед разрывом; скорости шариков в этот момент нулевые, так как рассматривается крайний случай: \[\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{q^2}{L}=U+\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{q^2}{L+\Delta L}.\] Разность в левой части уравнения равна \(\dfrac{q^2}{4\pi\varepsilon_0}\cdot\dfrac{\Delta L}{L(L+\Delta L)}=\dfrac{q^2}{4\pi\varepsilon_0}\cdot\dfrac{T}{L(T+k_0L_0)}\). Подставляя это и \(U\), получаем \(\dfrac{q^2T}{4\pi\varepsilon_0L(T+k_0L_0)}=\dfrac{T^2L}{2k_0L_0}\), откуда \[L_{\min}=\sqrt{\frac{q^2k_0L_0}{2\pi\varepsilon_0T\,(T+k_0L_0)}}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.