Протон и два электрона на прямой

Запишите энергию взаимодействия трёх пар зарядов и приравняйте её к нулю. Удобно ввести отношение искомых расстояний как новую переменную.

Пусть протон находится в точке \(x_1 = 0\), электроны — в точках \(x_2 = 1\) и \(x_3 = a\) (расстояние между центральным электроном и правым электроном равно \(t = a - 1\)). Полная энергия системы \[\frac{k q_1 q_3}{a} + \frac{k q_2 q_3}{a - 1} + \frac{k q_1 q_2}{1} = 0,\] где \(q_1 = +e\), \(q_2 = q_3 = -e\). Отсюда \[\frac{1}{t} = \frac{1}{t+1} + 1 \quad\Rightarrow\quad t^2 + t - 1 = 0 .\] Положительный корень \(t = \dfrac{\sqrt{5} - 1}{2}\), и искомое отношение \[\frac{1}{t} = \frac{2}{\sqrt{5} - 1} \approx 1{,}6 .\]