Падающий стержень с шариками

Горизонтальная проекция импульса системы сохраняется, так как трения о стол нет. Используйте также постоянство длины стержня: проекции скоростей шариков на его направление одинаковы.

Пусть \(m\) — масса шариков, \(\vec V_1\) и \(\vec V_2\) — скорости нижнего и верхнего шариков в конечном положении. Разложим \(\vec V_2 = \vec u_1 + \vec u_2\) на горизонтальную и вертикальную составляющие.

Горизонтальная составляющая импульса шариков сохраняется: \(0 = m u_1 - m V_1\), т.е. \(u_1 = V_1\).

Длина стержня не меняется, поэтому проекции скоростей шариков на направление стержня одинаковы: \[V_1 \cos\alpha = u_2 \sin\alpha - u_1 \cos\alpha \quad\Rightarrow\quad V_1 = \frac{u_2 \operatorname{tg}\alpha}{2}.\] Закон сохранения энергии: \[mgL = mgL\sin\alpha + \frac{m V_1^2}{2} + \frac{m V_2^2}{2} \quad\Rightarrow\quad 2gL(1 - \sin\alpha) = V_1^2 + u_1^2 + u_2^2 .\] Используя \(V_1\) и \(u_1 = V_1\), находим \[u_2^2 = \frac{4 gL (1 - \sin\alpha)}{\operatorname{tg}^2\alpha + 2},\] и далее \[V_2^2 = u_1^2 + u_2^2 = \frac{gL(1 - \sin\alpha)(\operatorname{tg}^2\alpha + 4)}{\operatorname{tg}^2\alpha + 2}.\] Численно: \(V_2 = \sqrt{3\left(1 - \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\cdot\dfrac{7}{5}} \approx 0{,}75\) м/с.