Скольжение лестницы со студентом

Запишите условие равновесия лестницы: сумма сил и сумма моментов относительно нижнего торца равны нулю. Скольжение начинается, когда сила трения достигает максимума \(\mu N\).

Обозначим расстояние, пройденное студентом, за \(x\). Второй закон Ньютона в проекциях на оси, указанные на рисунке: \[\begin{cases} N = 2mg + mg = 3mg, \\ R = F_{\text{тр}} = \mu N. \end{cases}\] Равенство моментов сил относительно точки \(A\) (нижний торец): \[L R \cos 60^{\circ} = mg \frac{L}{2} \cos 30^{\circ} + 2mgx \cos 30^{\circ}.\] Из него реакция стены \[R = 2mg\sqrt{3}\left(\frac{x}{L} + \frac{1}{4}\right).\] Необходимое условие проскальзывания: \(F_{\text{тр}} < R\). На границе \[2mg\sqrt{3}\left(\frac{x}{L} + \frac{1}{4}\right) = \mu N = 3\mu mg \quad\Rightarrow\quad \frac{x}{L} = 0{,}2\sqrt{3} - \frac{1}{4} \approx 9{,}6\,\%.\]