Заряды на пружинах и центральный заряд

Из симметрии достаточно рассмотреть один шарик. Заметьте, что сохранение модуля деформации возможно только при смене знака силы пружины, то есть при смене растяжения на сжатие.

Пусть \(c\) — константа в законе Кулона (чтобы не путать с жёсткостью пружины \(k\)). Второй закон Ньютона для проекции сил на горизонтальную ось, действующих на левый нижний шарик, из симметрии задаёт условие равновесия всех шариков: \[k\Delta l = c\frac{q^2}{a^2} + c\frac{\sqrt{2}}{2}\frac{q^2}{(\sqrt{2}a)^2} = \frac{4 + \sqrt{2}}{4}\left(c\frac{q^2}{a^2}\right).\] Абсолютное удлинение пружины могло остаться прежним только если заряд \(Q\) имеет знак, противоположный \(q\), и растяжение пружин перешло в сжатие. Для новой системы (абсолютные значения зарядов \(Q\) и \(q\)): \[k\Delta l + \frac{4 + \sqrt{2}}{4}\left(c\frac{q^2}{(a - 2\Delta l)^2}\right) = c\frac{\sqrt{2}}{2}\frac{qQ}{\left(0{,}5\sqrt{2}(a - 2\Delta l)\right)^2}.\] Подставляя \(k\Delta l\) из первого уравнения и учитывая \(\Delta l = \alpha a\), получаем \[c\frac{q^2}{a^2}\left(\frac{4 + \sqrt{2}}{4} + \frac{4 + \sqrt{2}}{4}\,\frac{1}{(1 - 2\alpha)^2}\right) = \frac{\sqrt{2}}{(1 - 2\alpha)^2}\, c\frac{qQ}{a^2}.\] Искомое отношение: \[\frac{Q}{q} = \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\frac{(4 + \sqrt{2})\left(1 + (1 - 2\alpha)^2\right)}{4} \approx 1{,}6 .\]