Разлёт протонов и позитронов

Силы на все частицы вначале одинаковы по величине, а массы разные. Какие частицы успеют разлететься первыми, пока другие почти не сдвинулись? Тогда энергию взаимодействия можно разделить на две части.

\(\dfrac uv=\sqrt{\dfrac mM\,\dfrac{1}{4\sqrt2+1}}\approx0{,}0087\) (\(u\) — скорость протонов, \(v\) — позитронов). В журнале приведено значение \(0{,}007\) — опечатка.

Что происходит. Все четыре частицы заряжены одинаково и отталкиваются. В начале на каждую действуют силы одного порядка, но ускорения позитронов в \(M/m=2000\) раз больше ускорений протонов. Поэтому позитроны быстро улетают на бесконечность, а протоны за это время почти не сдвигаются, и затем разлетаются уже только друг от друга. Главная идея: записать закон сохранения энергии отдельно для первого этапа (улетают позитроны) и для второго (улетают протоны).

Обозначения. \(k=\dfrac1{4\pi\varepsilon_0}\), \(e\) — заряд каждой частицы, \(v\) — скорость позитронов, \(u\) — скорость протонов на бесконечности, \(m\) и \(M\) — массы. Частицы лежат в вершинах квадрата: позитроны на одной диагонали, протоны на другой. Сторона квадрата \(a\), диагональ \(a\sqrt2\).

1. Энергия взаимодействия, которую получают позитроны. Протоны на этом этапе считаем неподвижными, они только создают поле. Потенциальная энергия системы «два позитрона в поле двух протонов» складывается из четырёх пар «протон — позитрон» на расстоянии \(a\) и пары «позитрон — позитрон» на расстоянии \(a\sqrt2\): \[U_1=4\cdot\frac{ke^2}{a}+\frac{ke^2}{a\sqrt2}=\frac{ke^2}{a}\Bigl(4+\frac1{\sqrt2}\Bigr).\] Когда позитроны улетели далеко, их потенциальная энергия стала равна нулю, а кинетическая энергия двух позитронов \(2\cdot\dfrac{mv^2}2=mv^2\). Закон сохранения энергии для позитронов (протоны неподвижны, их потенциальная энергия взаимодействия друг с другом не меняется): \[mv^2=\frac{ke^2}{a}\Bigl(4+\frac1{\sqrt2}\Bigr).\tag{1}\]

2. Энергия, которую получают протоны. Теперь позитронов нет на близком расстоянии, остаётся пара протонов на расстоянии \(a\sqrt2\) (они почти не сдвинулись). Закон сохранения энергии для двух протонов: потенциальная энергия их взаимодействия переходит в кинетическую энергию двух протонов \(2\cdot\dfrac{Mu^2}2=Mu^2\): \[Mu^2=\frac{ke^2}{a\sqrt2}.\tag{2}\]

3. Отношение скоростей. Делим (2) на (1): \[\frac{Mu^2}{mv^2}=\frac{1/\sqrt2}{4+1/\sqrt2}=\frac1{4\sqrt2+1} \quad\Rightarrow\quad \Bigl(\frac uv\Bigr)^2=\frac mM\,\frac1{4\sqrt2+1}.\]

Обратите внимание: полная энергия \(U_0=\dfrac{ke^2}a(4+\sqrt2)\) сохраняется на обоих этапах вместе, но одно её сохранение даёт одно уравнение на две скорости; второе уравнение даёт разделение процесса на два этапа, оно приближённое и верно, пока \(M\gg m\).

Ответ: \(\dfrac uv=\sqrt{\dfrac mM\,\dfrac1{4\sqrt2+1}}\). Числом: \(\sqrt{\dfrac1{2000}\cdot\dfrac1{6{,}657}}\approx0{,}0087\). В журнале стоит \(0{,}007\) — видимо, опечатка в округлении: из формулы журнала получается \(0{,}0087\).

Проверка. Размерность: обе части (1) и (2) — энергия, отношение скоростей безразмерно. Второй способ — закон сохранения энергии для всей системы: \(mv^2+Mu^2=\dfrac{ke^2}{a}\Bigl(4+\dfrac1{\sqrt2}\Bigr)+\dfrac{ke^2}{a\sqrt2}=\dfrac{ke^2}a(4+\sqrt2)=U_0\) — совпадает с полной начальной энергией (4 пары на \(a\) и две на \(a\sqrt2\)). Предел: при \(M\to\infty\) (протоны вообще не двигаются) \(u/v\to0\), как и должно быть.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.