Стеклянный кубик в движении

Кубик успевает сместиться за время прохождения света, и путь в воздухе сокращается. Но скорость света в движущемся стекле в системе экрана не равна \(c/n+v\) — нужна формула сложения скоростей.

\(\Delta t=\dfrac{(n-1)\,l\,v}{c^2}\) (в первом порядке по \(v/c\); кубик движется по лучу к экрану). При \(n\gg1\) получается \(\dfrac{n\,l\,v}{c^2}\).

Что происходит. Пока свет идёт сквозь кубик, кубик успевает сдвинуться к экрану. Правая грань уходит от луча, и в стекле свет идёт не \(l\), а \(l\) плюс сдвиг грани, зато путь в воздухе до экрана сокращается. Итог — сумма двух малых поправок. Главная идея: скорость света в движущемся стекле в системе источника и экрана даёт релятивистское сложение скоростей, и в первом порядке по \(v/c\) всё считается просто.

Обозначения. Система отсчёта — источник и экран неподвижны. Ось \(x\) направлена по лучу к экрану; кубик движется в ту же сторону со скоростью \(v\ll c\). \(a\) — координата левой грани в момент входа света в кубик (\(t=0\)), \(X\) — координата экрана, \(w\) — скорость света в стекле в этой системе. Длину кубика \(l\) в этой системе считаем равной \(l\): сокращение длины даёт поправку порядка \(v^2/c^2\), а нам нужны слагаемые, линейные по \(v\).

1. Скорость света в движущемся стекле. В системе стекла свет идёт со скоростью \(c/n\). Закон сложения скоростей теории относительности для скорости \(c/n\) и скорости стекла \(v\) в одном направлении: \[w=\frac{c/n+v}{1+\dfrac{v}{nc}}\approx\frac cn+v\Bigl(1-\frac1{n^2}\Bigr).\] Разложение сделано по малому \(v/c\): \(\dfrac1{1+\varepsilon}\approx1-\varepsilon\), \(\varepsilon=\dfrac v{nc}\).

2. Время в стекле. В момент выхода света координата выходной грани равна \(a+l+vt\), координата света \(a+wt\), они равны: \[wt=l+vt\quad\Rightarrow\quad t=\frac l{w-v}=\frac l{\dfrac cn-\dfrac v{n^2}}\approx\frac{nl}{c}\Bigl(1+\frac v{nc}\Bigr).\] Свет выходит в точке \(x_{\text{вых}}=a+wt\).

3. Полное время до экрана. В воздухе свет проходит \(X-x_{\text{вых}}\) со скоростью \(c\): \[t_{\text{пол}}=t+\frac{X-a-wt}{c}=\frac{X-a}{c}+t\Bigl(1-\frac wc\Bigr).\] Для неподвижного кубика \(w=c/n\), \(t_0=nl/c\): \[t_{\text{пол},0}=\frac{X-a}{c}+\frac{nl}{c}\Bigl(1-\frac1n\Bigr).\]

4. Разность. Для движущегося кубика \(1-\dfrac wc=\Bigl(1-\dfrac1n\Bigr)-\dfrac vc\Bigl(1-\dfrac1{n^2}\Bigr)\). Умножаем на \(t\) и оставляем члены, линейные по \(v\): \[t\Bigl(1-\frac wc\Bigr)\approx\frac{nl}c\Bigl(1-\frac1n\Bigr)+\frac{nl}c\,\frac vc\Bigl[\frac1n\Bigl(1-\frac1n\Bigr)-\Bigl(1-\frac1{n^2}\Bigr)\Bigr].\] В скобке: \(\Bigl(1-\dfrac1n\Bigr)\Bigl[\dfrac1n-1-\dfrac1n\Bigr]=-\Bigl(1-\dfrac1n\Bigr)\). Поэтому \[t_{\text{пол}}-t_{\text{пол},0}=-\frac{nl\,v}{c^2}\Bigl(1-\frac1n\Bigr)=-\frac{(n-1)\,l\,v}{c^2}.\] Свет приходит раньше на \[\Delta t=\frac{(n-1)\,l\,v}{c^2}.\]

Обратите внимание: простое рассуждение «кубик за время \(nl/c\) сместился на \(vnl/c\), путь в воздухе стал короче на эту величину» даёт \(\dfrac{nlv}{c^2}\). Оно верно только при \(n\gg1\): скорость света в движущемся стекле не \(c/n+v\), а \(\dfrac cn+v\bigl(1-\dfrac1{n^2}\bigr)\) (опыт Физо), и разница дополнительно сдвигает ответ на \(-\dfrac{lv}{c^2}\). Второе: ответ получен для движения кубика по ходу луча; при движении против луча знак меняется.

Ответ: \(\Delta t=\dfrac{(n-1)\,l\,v}{c^2}\); при \(n\gg1\) — \(\dfrac{n\,l\,v}{c^2}\) (так в «Кванте»).

Проверка. Размерность: \(lv/c^2\) — секунды. Предельный случай \(n=1\) (стекла нет, «кубик» пуст): \(\Delta t=0\), а наивная формула давала бы \(lv/c^2\ne0\) — нелепо. Значит, поправка \(-lv/c^2\) необходима. Второй способ — точный расчёт с сокращением длины кубика \(l'=l\sqrt{1-v^2/c^2}\) и точной формулой для \(w\): при \(v/c=10^{-3}\), \(n=1{,}5\) получается разность, совпадающая с \((n-1)lv/c^2\) с точностью до долей процента. Пример: \(n=1{,}5\), \(l=10\) см, \(v=10\) м/с: \(\Delta t=\dfrac{0{,}5\cdot0{,}1\cdot10}{9\cdot10^{16}}\approx6\cdot10^{-18}\) с — ничтожно, но в принципе измеримо интерферометром.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.