Сопротивление в «чёрной» схеме

Если два конца звезды из трёх сопротивлений соединить проводом, то после этого можно подобрать точки, потенциалы которых равны. Через сопротивление между точками одного потенциала ток не идёт.

Два внешних конца звезды соединяют проводом; источник и амперметр включают так, чтобы весь ток источника шёл через амперметр в центр звезды и через третье сопротивление. Вольтметр подключают между центром и третьим концом: \(R_3=U/I\), где \(U\) и \(I\) — показания вольтметра и амперметра.

Что происходит. Амперметр с малым собственным сопротивлением можно считать проводом: потенциалы его концов равны. Если центр звезды \(O\) соединить через амперметр с проводом, связывающим два внешних конца \(1\) и \(2\), то точки \(1\), \(2\) и \(O\) окажутся на одном потенциале, и сопротивления \(R_1\) и \(R_2\) между ними выключатся из работы: ток в них равен нулю, что бы ни было в остальной схеме. Весь ток, который приходит в \(O\), идёт только по \(R_3\). Главная идея: ток через \(R_3\) измеряет амперметр, напряжение на \(R_3\) — вольтметр.

Обозначения. \(O\) — центр звезды, \(1\) и \(2\) — внешние концы сопротивлений \(R_1\) и \(R_2\), \(3\) — внешний конец сопротивления \(R_3\), которое будем измерять. Остальная часть схемы подключена к точкам \(1\), \(2\), \(3\) и на рисунке показана пунктиром; её сопротивлений мы не знаем и не трогаем. Амперметр и вольтметр считаем идеальными, добавленные провода — без сопротивления.

1. Как подключить приборы. Провод соединяет точки \(1\) и \(2\) (контакты в схеме не разрываются, провод лишь добавляется). От этого провода идёт цепь: амперметр, затем точка \(O\). Источник тока включаем между проводом \(1\)–\(2\) и точкой \(3\). Вольтметр подключаем между \(O\) и \(3\).

2. Что течёт через \(R_1\) и \(R_2\). Падение напряжения на амперметре равно нулю, поэтому потенциал точки \(O\) равен потенциалу провода, то есть потенциалам точек \(1\) и \(2\). Напряжение на \(R_1\) и на \(R_2\) равно нулю, по закону Ома для участка цепи токи в них нулевые.

3. Ток через \(R_3\). К точке \(O\) подходят три сопротивления и амперметр. Сумма токов, входящих в узел \(O\), равна сумме выходящих (закон сохранения заряда). Токи в \(R_1\) и \(R_2\) нулевые, значит, ток амперметра \(I\) целиком уходит через \(R_3\): \(I_3=I\). Остальная схема, подключённая к точкам \(1\), \(2\), \(3\), берёт на себя часть тока источника параллельно нашей цепи, но в \(O\) ведёт единственный путь — через амперметр, поэтому она показаний не искажает.

4. Напряжение на \(R_3\). Вольтметр подключён к концам \(R_3\) (точки \(O\) и \(3\)) и показывает \(U=\varphi_O-\varphi_3\).

Обратите внимание: проводом соединены именно две точки \(1\) и \(2\) — концы сопротивлений, расположенных рядом с узлом. Если соединить проводом, например, \(1\) и \(3\), ток пойдёт через \(R_2\), и показания приборов будут относиться к двум сопротивлениям сразу.

Ответ: \(R_3=\dfrac{U}{I}\), где \(U\) — показание вольтметра, \(I\) — амперметра. Любое из трёх сопротивлений измеряется так же, если провод соединяет два других конца, а третье включено между амперметром и вольтметром.

Проверка. \(\dfrac{U}{I}\) имеет размерность сопротивления. Предельный случай: пусть остальной схемы нет (концы \(1\), \(2\), \(3\) ни к чему не подключены). Тогда вся цепь — источник, амперметр и \(R_3\), и \(U/I=R_3\) по закону Ома, как должно быть. Если схема подключена, то результат от неё не зависит: ни \(R_1\) и \(R_2\), ни остальные сопротивления не входят в формулу, так как токи в \(R_1\) и \(R_2\) нулевые, а напряжение на \(R_3\) вольтметр меряет прямо.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.