Три амперметра и три резистора

Амперметры не идеальные: у каждого есть одинаковое сопротивление \(r\). Токи в резисторах найдите по узлам, затем запишите, что сумма падений напряжения вдоль любого замкнутого контура равна нулю.

Ток нижнего амперметра \(I_x=19\) мА; \(R_x=3r\approx148\) Ом, где \(r\approx49\) Ом — сопротивление амперметра.

Что происходит. Три ветви с амперметрами соединяют общий провод слева с тремя точками столбика из трёх резисторов. Через батарейку течёт сумма всех токов, а в резисторах токи разные: чем ниже, тем больше. У амперметров есть собственное сопротивление: именно поэтому их токи различны. Главная идея — два замкнутых контура между соседними ветвями: в каждом из них сумма падений напряжения равна нулю. Это даёт отношение \(R_x/r\) и ток \(I_x\), а затем из контура с батарейкой находим сами сопротивления.

Обозначения. \(r\) — сопротивление одного амперметра; \(R\) — сопротивление одного резистора \(R_x\); \(I_x\) — ток нижнего амперметра; токи ветвей направлены вправо, как стрелки на рисунке. Узлы столбика: \(P_1\) — между верхним и средним резисторами, \(P_2\) — между средним и нижним.

1. Токи в резисторах. Закон сохранения заряда в узле: сумма токов в узел равна сумме токов из него. Верхний конец столбика — только верхний амперметр, поэтому ток верхнего резистора \(I_\text{в}\). В узел \(P_1\) входят \(I_\text{в}\) сверху и \(I_\text{с}\) из средней ветви, ток среднего резистора \(I_\text{в}+I_\text{с}\). В узел \(P_2\) добавляется \(I_x\), ток нижнего резистора \(I_\text{в}+I_\text{с}+I_x\) — он же течёт через батарейку.

2. Верхний контур. Обойдём контур по часовой стрелке: верхний амперметр, верхний резистор, средний амперметр против тока. Электрическое поле тока потенциально, источников в этом контуре нет, значит сумма падений напряжения равна нулю (второе правило Кирхгофа). Падение на элементе — произведение тока на сопротивление, при обходе против тока знак меняется: \[I_\text{в}\,r+I_\text{в}\,R-I_\text{с}\,r=0\quad\Rightarrow\quad \frac{R}{r}=\frac{I_\text{с}-I_\text{в}}{I_\text{в}}=\frac{4-1}{1}=3 .\]

3. Средний контур. Так же: средний амперметр по току, средний резистор с током \(I_\text{в}+I_\text{с}\), нижний амперметр против тока: \[I_\text{с}\,r+(I_\text{в}+I_\text{с})\,R-I_x\,r=0\quad\Rightarrow\quad I_x=I_\text{с}+\frac{R}{r}\,(I_\text{в}+I_\text{с})=4+3\cdot5=19\ \text{мА}.\]

4. Сопротивление резистора. Обойдём контур с батарейкой: от плюса через нижний амперметр (ток \(I_x\)) и нижний резистор (ток \(I_\text{в}+I_\text{с}+I_x=24\) мА). Сумма падений напряжения равна напряжению батарейки: \[U_0=I_x\,r+R\,(I_\text{в}+I_\text{с}+I_x)=r\cdot(19+3\cdot24)\ \text{мА}=91\,r\cdot1\ \text{мА}.\] Отсюда \[r=\frac{U_0}{91\ \text{мА}}=\frac{4{,}5\ \text{В}}{91\cdot10^{-3}\ \text{А}}\approx49\ \text{Ом},\qquad R_x=R=3r\approx148\ \text{Ом}.\] Обратите внимание: считать амперметры идеальными (\(r=0\)) нельзя: тогда верхний контур дал бы \(I_\text{в}R=0\), то есть \(I_\text{в}=0\), а ток по условию \(1\) мА. Именно сопротивление амперметров делает токи ветвей разными.

Проверка. Размерность: \(R/r\) безразмерно, \(I_x\) в миллиамперах, \(U_0\) в вольтах. Второй способ — напряжение батарейки по верхней ветви: \(U_0=I_\text{в}r+R\,(3I_\text{в}+2I_\text{с}+I_x)=r\,(1+3\cdot30)\ \text{мА}=91\,r\cdot1\ \text{мА}\), по средней ветви: \(U_0=I_\text{с}r+R\,(2I_\text{в}+2I_\text{с}+I_x)=r\,(4+3\cdot29)\ \text{мА}=91\,r\cdot1\ \text{мА}\). Все три пути от плюса к минусу дают одно и то же напряжение, как и должно быть. Ток нижнего амперметра растёт с каждой ветвью (\(1<4<19\)): ниже по столбику к ней приложено большее напряжение.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.