След мела на доске

Пока скорости мела и доски различны, на мел действует постоянная сила трения скольжения, и он движется равноускоренно. Разберите два случая: мел успел набрать скорость доски или не успел.

Если \(\mu g t<v\) (мел не успел разогнаться до скорости доски): длина следа \(vt-\dfrac{\mu g t^2}{2}\), полное смещение \(vt-\mu g t^2\). Если \(\mu g t\geqslant v\): длина следа \(\dfrac{v^2}{2\mu g}\), полное смещение \(0\).

Что происходит. Доска рванула вперёд, мел остался позади: относительно доски он скользит назад и оставляет след. Сила трения скольжения \(\mu mg\) постоянна и направлена вперёд, к скорости доски, поэтому мел разгоняется с ускорением \(a=\mu g\). Когда доску мгновенно останавливают, мел ещё движется вперёд и скользит по неподвижной доске, тормозясь той же силой трения, то есть с тем же по модулю ускорением. Он возвращается по собственному следу. Всё зависит от того, успел ли мел за время \(t\) разогнаться до скорости доски: это даёт два случая. В решении мы смотрим на движение в системе отсчёта стола и находим пути мела и доски.

Обозначения. Ось \(x\) направлена по скорости доски; \(v\) — скорость доски в течение \(t\); \(a=\mu g\) — модуль ускорения мела при скольжении. Мел — точка, трение скольжения.

Случай 1: \(\mu g t<v\), мел не успел разогнаться. Скорость мела растёт от нуля с ускорением \(\mu g\): второй закон Ньютона для мела в проекции на ось \(x\) даёт \(ma=\mu mg\), а значит, скольжение продолжается весь промежуток \(t\).

1. Первый этап, время \(0\ldots t\). Мел и доска движутся, скорость мела к моменту \(t\) равна \(u=\mu g t\). Путь доски \(vt\), путь мела \(\mu g t^2/2\). Мел отстал от доски на \[s_1=vt-\frac{\mu g t^2}{2}.\] Это путь скольжения назад относительно доски, и он же — длина следа в этот момент.

2. Второй этап, после остановки доски. Доска стоит, мел скользит по ней вперёд со скоростью \(u=\mu g t\), и сила трения теперь направлена назад. Второй закон Ньютона даёт торможение \(\mu g\), мел останавливается за время \(t\) и проходит путь \[\Delta=\frac{u^2}{2\mu g}=\frac{\mu g t^2}{2}.\] Обратите внимание: на втором этапе мел скользит вперёд, то есть по уже нарисованному следу, поэтому след новой длины не оставляет, если \(\Delta\le s_1\). Проверим: \(\Delta\le s_1\iff\dfrac{\mu g t^2}{2}\le vt-\dfrac{\mu g t^2}{2}\iff\mu g t\le v\), а это условие случая 1.

3. Ответ для случая 1. Длина следа — наибольшее удаление от начальной точки \(O\), то есть \(s_1\). Полное смещение мела относительно доски — расстояние от \(O\) до конечного положения: \[s=s_1-\Delta=vt-\mu g t^2.\]

Случай 2: \(\mu g t\geqslant v\), мел успел разогнаться до скорости доски. Мел достигает скорости \(v\) за время \(\tau=v/(\mu g)\le t\).

4. До \(\tau\). Пока скорости различны, мел скользит назад. Относительная скорость падает по линейному закону от \(v\) до нуля за время \(\tau\), поэтому путь скольжения — площадь треугольника на графике относительной скорости: \[s_1=\frac{v\tau}{2}=\frac{v^2}{2\mu g}.\]

5. От \(\tau\) до \(t\). Скорости мела и доски равны, доска движется равномерно, и трение покоя равно нулю: мел едет вместе с доской. Относительного смещения нет, след не растёт.

6. После остановки. Мел имеет скорость \(v\) и скользит вперёд по неподвижной доске, торможение \(\mu g\): путь \(v^2/(2\mu g)\) в точности равен \(s_1\). Мел возвращается в начальную точку \(O\) и останавливается там.

7. Ответ для случая 2. Длина следа \(s_1=\dfrac{v^2}{2\mu g}\); мел вернулся в исходную точку относительно доски, полное смещение равно нулю.

Проверка. Размерность: \(vt\) и \(\mu g t^2\) — метры, \(v^2/(\mu g)\) — метры. На границе случаев \(\mu g t=v\) формулы совпадают: след \(vt-\dfrac{\mu g t^2}{2}=\dfrac{vt}{2}=\dfrac{v^2}{2\mu g}\) и смещение \(vt-\mu g t^2=0\). Предельный случай \(\mu\to0\): мел стоит на месте, а доска уходит под ним, след \(vt\) и смещение \(vt\) — верно. При большом \(\mu\) мел сразу «приклеен», след \(v^2/(2\mu g)\to0\). Физический смысл: трение разгоняет и тормозит мел на одной и той же длине, поэтому в случае 2 он возвращается назад.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.