Термометр между калориметрами

У термометра своя теплоёмкость: при каждом погружении он обменивается теплотой с калориметром и меняет его температуру. Запишите баланс для каждого погружения и найдите отношения теплоёмкостей термометра и калориметров.

Следующее показание \(t_5=\dfrac{2437}{32}\approx76{,}2\,{}^\circ\text{C}\); после большого числа переносов показания стремятся к \(t_\infty=\dfrac{8432}{155}\approx54{,}4\,{}^\circ\text{C}\).

Что происходит. Термометр сам имеет теплоёмкость. Погружаясь в калориметр, он приходит с его содержимым к общей температуре: горячий калориметр чуть остывает, холодный чуть нагревается. Показание — это установившаяся температура термометра и калориметра, в который он погружён. Главная идея — уравнение теплового баланса для одного погружения: теплоёмкости калориметров с жидкостью нам неизвестны, но их отношения к теплоёмкости термометра найдутся из самих показаний.

Обозначения. \(c\) — теплоёмкость термометра; \(C_1\) и \(C_2\) — теплоёмкости первого и второго калориметров с жидкостью; \(t_n\) — показание при \(n\)-м погружении: \(t_1=80\), \(t_2=16\), \(t_3=78\), \(t_4=19\,{}^\circ\text{C}\). Нечётные погружения — в первый калориметр, чётные — во второй. После \(n\)-го погружения у термометра и у калориметра, в котором он был, температура \(t_n\). Теплообмен с окружающей средой не учитываем: обмен теплотой идёт только между термометром и калориметром.

1. Отношение \(c/C_1\). Третье погружение: термометр с температурой \(t_2=16\,{}^\circ\text{C}\) опускают в первый калориметр, температура которого \(t_1=80\,{}^\circ\text{C}\). Запишем уравнение теплового баланса для системы термометр + первый калориметр: теплота, полученная термометром, равна теплоте, отданной калориметром: \[c\,(t_3-t_2)=C_1\,(t_1-t_3)\quad\Rightarrow\quad \frac{c}{C_1}=\frac{t_1-t_3}{t_3-t_2}=\frac{80-78}{78-16}=\frac1{31}.\]

2. Отношение \(c/C_2\). Четвёртое погружение: термометр с температурой \(t_3=78\,{}^\circ\text{C}\) опускают во второй калориметр с температурой \(t_2=16\,{}^\circ\text{C}\). Баланс для термометра и второго калориметра: \[c\,(t_3-t_4)=C_2\,(t_4-t_2)\quad\Rightarrow\quad \frac{c}{C_2}=\frac{t_4-t_2}{t_3-t_4}=\frac{19-16}{78-19}=\frac3{59}.\]

3. Следующее показание. Пятое погружение: термометр с температурой \(t_4=19\,{}^\circ\text{C}\) опускают в первый калориметр, температура которого сейчас \(t_3=78\,{}^\circ\text{C}\). Баланс тот же, что в пункте 1: \[c\,(t_5-t_4)=C_1\,(t_3-t_5)\quad\Rightarrow\quad t_5=\frac{t_3+\dfrac{c}{C_1}\,t_4}{1+\dfrac{c}{C_1}}=\frac{78+19/31}{1+1/31}=\frac{2437}{32}\approx76{,}2\,{}^\circ\text{C}.\] Обратите внимание: термометр опускают в калориметр с температурой \(78\,{}^\circ\text{C}\), а не \(80\,{}^\circ\text{C}\): после третьего погружения первый калориметр уже остыл.

4. Много переносов. Три тела — термометр и два калориметра — не обмениваются теплотой с окружающей средой, поэтому сумма их тепловых энергий сохраняется. Пока температуры калориметров различны, каждый перенос уменьшает разность: термометр забирает теплоту у горячего и отдаёт холодному. В пределе температуры калориметров и термометра сравниваются и равны \(t_\infty\). Сохраняющуюся сумму \(C_1t+C_2t+ct\) найдём после четвёртого погружения: первый калориметр при \(78\,{}^\circ\text{C}\), термометр и второй калориметр при \(19\,{}^\circ\text{C}\). Выразим теплоёмкости через \(c\): \(C_1=31\,c\), \(C_2=\dfrac{59}{3}\,c\). Закон сохранения энергии для всей системы между состоянием после четвёртого погружения и предельным: \[C_1\cdot78+(C_2+c)\cdot19=(C_1+C_2+c)\,t_\infty\quad\Rightarrow\quad t_\infty=\frac{31\cdot78+\frac{59}{3}\cdot19+19}{31+\frac{59}{3}+1}=\frac{8432}{155}\approx54{,}4\,{}^\circ\text{C}.\] Сходится медленно: на графике показания первого и второго калориметров лишь к сотому переносу сблизились до \(54{,}9\) и \(53{,}7\,{}^\circ\text{C}\) — разность около \(1\,{}^\circ\text{C}\).

Проверка. Второй способ для пункта 3: энергия системы термометр + первый калориметр сохраняется, \(31\cdot78+1\cdot19=2437=32\,t_5\), то есть \(t_5=76{,}16\). Предельный случай: при \(c\to0\) термометр ничего не меняет, и показания \(80\), \(16\) повторялись бы. Здесь \(c/C_1\) и \(c/C_2\) малы, но не равны нулю, поэтому показания медленно дрейфуют навстречу друг другу. Значение \(t_\infty\) лежит между \(16\) и \(80\,{}^\circ\text{C}\) и ближе к температуре первого калориметра: его теплоёмкость больше.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.