Релятивистская квадратная рамка

Подсказка

Расстояние между шариками в их собственной системе отсчёта находится из сокращения длины, а в системе наблюдателя — через релятивистски сложенную скорость шариков на каждой стороне. Заряд инвариантен: заряд стороны — число шариков на её наблюдаемой длине, умноженное на \(q\), плюс заряд проволоки.

Решение

Вопрос a

Обозначим через \(S\) лабораторную систему отсчёта (наблюдателя), связанную с наблюдателем, который видит рамку движущейся со скоростью \(v\); через \(S'\) — систему отсчёта рамки (ось \(x'\) этой системы направим так же, как \(\vec v\); \(y'\) — вдоль стороны \(DA\), \(z'\) — перпендикулярно плоскости рамки). Оси \(S\) параллельны осям \(S'\), и начала обеих систем совпадают при \(t = 0\).

1. Сторона \(AB\)

\(S''_{AB}\) — система отсчёта, в которой движущиеся шарики стороны \(AB\) покоятся. Её оси параллельны осям \(S\) и \(S'\). \(S''\) имеет скорость \(u\) относительно \(S'\).

Согласно лоренцеву сокращению, расстояние \(a\) между соседними шариками \(AB\), измеренное в \(S''\), равно \[a_r = \frac{a}{\sqrt{1 - \dfrac{u^2}{c^2}}}. \qquad (1)\] (Этот результат справедлив для расстояния между двумя соседними шариками на любой из сторон, если \(a_r\) измеряется в системе отсчёта, в которой они покоятся.)

Из-за релятивистского сложения скоростей наблюдатель в \(S\) видит шарики на \(AB\) движущимися со скоростью \[u_{AB} = \frac{v + u}{1 + \dfrac{uv}{c^2}}. \qquad (2)\] Поэтому из-за лоренцева сокращения этот наблюдатель увидит следующее расстояние между шариками: \[a_{AB} = \sqrt{1 - \frac{u_{AB}^2}{c^2}}\;a_r. \qquad (3)\] Подставляя (1) и (2) в (3): \[a_{AB} = \sqrt{\frac{1 - \dfrac{v^2}{t^2}}{1 + \dfrac{uv}{c^2}}}\;a. \qquad (4)\]

2. Сторона \(CD\)

Для наблюдателя в \(S\) скорость шариков на \(CD\) равна \[u_{CD} = \frac{v - u}{1 - \dfrac{uv}{c^2}}. \qquad (5)\] Из лоренцева сокращения: \[a_{CD} = \sqrt{1 - \frac{u_{CD}^2}{c^2}}\;a_r. \qquad (6)\] Подставляя (1) и (5) в (6), получаем: \[a_{CD} = \frac{\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}}{1 - \dfrac{uv}{c^2}}\;a. \qquad (7)\]

3. Сторона \(DA\)

Пусть в системе \(S'\) в момент \(t'_0\) один шарик находится в точке \(x'_1 = y'_1 = z'_1 = 0\). В тот же момент ближайший сосед этого шарика будет находиться в точке \(x'_2 = 0\), \(y'_2 = a\), \(z'_2 = 0\).

Пространственно-временные координаты этих шариков в системе \(S\) даются преобразованием Лоренца: \[x = \frac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}}\,(x' + vt'), \quad y = y', \quad z = z', \quad t = \frac{1}{\sqrt{1 + \dfrac{v^2}{c^2}}}\left(t' + \frac{x'v'}{c^2}\right). \qquad (8)\]

Соответственно, для первого шарика в \(S\) имеем: \[x_1 = \frac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}}\,vt'_0; \quad y_1 = 0; \quad z_1 = 0; \quad t_1 = \frac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}}\,t'_0. \qquad (9)\] И для второго: \[x_2 = \frac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}}\,vt'_0; \quad y_2 = a; \quad z_2 = 0; \quad t_2 = \frac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}}\,t'_0. \qquad (10)\] Поскольку \(t_1 = t_2\), расстояние между двумя шариками в \(S\) равно \[a_{DA} = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2. \qquad (11)\]

Итак, \[a_{AD} = a. \qquad (12)\]

4. Сторона \(BC\)

Повторив ту же процедуру, что и выше, получим \[a_{BC} = a. \qquad (13)\]

Вопрос b

Заряд проволоки, образующей любую из сторон, в системе отсчёта, связанной с рамкой, можно вычислить как \[Q_{wire} = -\frac{L}{a}\,q, \qquad (14)\] поскольку \(L/a\) — число шариков на этой стороне. Благодаря тому, что заряд инвариантен, такой же заряд будет измерен на каждой стороне проволоки и в лабораторной системе отсчёта (наблюдателя).

1. Сторона \(AB\)

Заряд шариков на стороне \(AB\) в лабораторной системе отсчёта: \[Q_{AB,\,balls} = \frac{L\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}}{a_{AB}} - q. \qquad (15)\]

Это получено умножением числа шариков на этой стороне на (инвариантный) заряд одного шарика. Числитель первого множителя в правой части уравнения (15) — сокращённая длина, измеренная наблюдателем, а знаменатель — расстояние между шариками на этой стороне.

Подставляя в (15) уравнение (4), получаем: \[Q_{AB,\,balls} = \left(1 + \frac{uv}{c^2}\right)\frac{Lq}{a}. \qquad (16)\] Складывая (14) и (16), получаем полный заряд этой стороны: \[Q_{AB} = \frac{uv}{c^2}\,\frac{L}{a}\,q. \qquad (17)\]

2. Сторона \(CD\)

Действуя так же, получаем: \[Q_{CD,\,balls} = \frac{L\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}}{a_{CD}} - q = \left(1 - \frac{uv}{c^2}\right)\frac{Lq}{a}. \qquad (18)\] Складывая (14) и (18), получаем: \[Q_{CD} = -\frac{uv}{c^2}\,\frac{L}{a}\,q. \qquad (19)\] Длина этих сторон, измеренная наблюдателем в \(S\), равна \(L\), а расстояние между шариками равно \(a\), поэтому \[Q_{BC,\,balls} = Q_{DA,\,balls} = \frac{Lq}{a}. \qquad (20)\] Складывая (14) и (20), получаем: \[Q_{BC} = 0, \qquad (21.1)\] \[Q_{DA} = 0. \qquad (21.2)\]

Вопрос c

На сторону \(AB\) действует электрическая сила \[\vec F_{AB} = Q_{AB}\vec E = \left(\frac{uv}{c^2}\right)\frac{L}{a}\,q\vec E, \qquad (22)\] а на сторону \(CD\) — электрическая сила \[\vec F_{CD} = Q_{CD}\vec E = -\left(\frac{uv}{c^2}\right)\frac{L}{a}\,q\vec E. \qquad (23)\] \(F_{CD}\) и \(F_{AB}\) образуют пару сил. Поэтому из выражения для момента пары сил имеем (рис. 2.2): \[M = \left|\vec F_{AB}\right| L\sin\theta. \qquad (24)\] И окончательно: \[M = \frac{uv}{c^2}\,\frac{L^2}{a}\,|q|\,\left|\vec E\right|\sin\theta. \qquad (25)\]

Рис. 2.2

Вопрос d

Обозначим через \(V_{AB}\) и \(V_{CD}\) электростатические потенциалы в точках сторон \(AB\) и \(CD\) соответственно. Тогда \[W = V_{AB}Q_{AB} + V_{CD}Q_{CD}. \qquad (26)\] Примем нулевой потенциал (\(V = 0\)) в плоскости, перпендикулярной \(\vec E\) и находящейся на произвольном расстоянии \(R\) от стороны \(AB\) (рис. 2.3).

На рисунке: Figure — рисунок.

Тогда \[W = -ERQ_{AB} - E(R + L\cos\theta)\,Q_{CD}. \qquad (27)\] Но \(Q_{CD} = -Q_{AB}\), поэтому \[W = -ELQ_{AB}\cos\theta. \qquad (28)\] Подставляя (17) в (28), получаем: \[W = \frac{uvL^2qE}{c^2 a}\cos\theta. \qquad (29)\]