Лазерное охлаждение атомов

Запишите законы сохранения энергии и импульса для поглощения фотона, летящего навстречу атому: энергия фотона идёт на возбуждение с учётом доплеровского сдвига, а его импульс тормозит атом. Ширина уровня \(\Gamma\) задаёт интервал резонансных скоростей, а время жизни \(h/\Gamma\) — темп торможения.

Вопрос a

Скорость \(v_0\) атомов, кинетическая энергия которых равна средней для атомов, выходящих из коллиматора, определяется так: \[\frac12\,mv_0^2 = \frac32\,kT \;\Rightarrow\; v_0 = \sqrt{\frac{3kT}{m}}, \qquad (1)\] \[v_0 = \sqrt{\frac{3\cdot 1{,}38\cdot 10^{-23}\cdot 10^3}{23\cdot 1{,}67\cdot 10^{-27}}}\text{ м/с},\] \(v_0 \approx 1{,}04\cdot 10^3\) м/с, поскольку \[m \approx 23\,m_p. \qquad (2)\] Так как эта скорость много меньше \(c\), \(v_0 \ll c\), релятивистскими эффектами можно пренебречь.

Свет состоит из фотонов с энергией \(h\nu\) и импульсом \(h\nu/c\).

В лабораторной системе отсчёта законы сохранения энергии и импульса, применённые к процессу поглощения, дают: \[\frac12\,mv_0^2 + h\nu = \frac12\,mv_1^2 + E; \quad mv_0 - \frac{h\nu}{c} = mv_1 \;\Rightarrow\; \Delta v_1 = v_1 - v_0 = \frac{-h\nu}{mc},\] \[\frac12\,m(v_1^2 - v_0^2) = h\nu - E \;\Rightarrow\; \frac12\,m(v_1 + v_0)(v_1 - v_0) = h\nu - E.\] \(h\nu/c \ll mv_0\). Тогда \(v_1 \approx v_0\), и отсюда следует \(mv_0\Delta v_1 = h\nu = E\), где мы считаем, что \(v_1 + v_0 \approx 2v_0\).

Объединяя эти выражения: \[\nu = \frac{\dfrac{E}{h}}{1 + \dfrac{v_0}{c}} \qquad (3)\] и \[\Delta v_1 = -\frac{E}{mc}\,\frac{1}{1 + \dfrac{v_0}{c}}. \qquad (4)\] Подставляя численные значения: \(\nu \approx 5{,}0\cdot 10^{14}\) Гц, \(\Delta v_1 \approx -3{,}0\cdot 10^{-2}\) м/с.

Если бы мы анализировали задачу в системе отсчёта, движущейся относительно лаборатории со скоростью \(v_0\), то имели бы \[\frac12\,m(v_1 - v_2)^2 + E = h\nu,\] где \(\nu = \dfrac{\nu'}{1 + \dfrac{v_0}{c}}\) — частота фотонов в лабораторной системе. Пренебрегая \(\Delta v_1^2\), получаем те же два уравнения, что и выше.

Приближения оправданы, поскольку \[-\frac{|\Delta v_1|}{v_0} \sim 10^{-4}.\] Тогда \(v_1 + v_0 = 2v_0 - \Delta v_1 \approx 2v_0\).

Вопрос b

При фиксированной \(\nu\): \[v_0 = c\left(\frac{E}{h\nu} - 1\right). \qquad (5)\] Если \(E\) имеет неопределённость \(\Gamma\), то \(v_0\) будет иметь неопределённость \[\Delta v_0 = \frac{c\Gamma}{h\nu} = \frac{c\Gamma\left(1 + \dfrac{v_0}{c}\right)}{E} \approx \frac{c\Gamma}{E} = 6{,}25\text{ м/с}, \qquad (6)\] так что фотоны поглощаются атомами, скорости которых лежат в интервале \[\left(v_0 - \frac{\Delta v_0}{2},\; v_0 + \frac{\Delta v_0}{2}\right).\]

Вопрос c

Законы сохранения энергии и импульса дают: \[\frac12\,mv_1^2 + E = \frac12\,mv_1'^2 + h\nu'\] (\(\nu'\) — частота испущенного фотона), \[mv_1 = mv'_1\cos\varphi + \frac{h\nu'}{c}\cos\theta,\] \[0 = mv'_1\sin\varphi - \frac{h\nu'}{c}\sin\theta.\] Отклонение \(\varphi\) атома будет наибольшим при \(\theta = \dfrac{\pi}{2}\), тогда: \[mv_1 = mv'_1\cos\varphi_m; \quad \frac{h\nu'}{c} = mv'_1\sin\varphi_m \;\Rightarrow\; \operatorname{tg}\varphi_m = \frac{h\nu'}{mv_1 c};\] поскольку \(\nu' \approx \nu\): \[\operatorname{tg}\varphi_m \approx \frac{E}{mv_1 c}, \qquad (7)\] \[\varphi_m = \operatorname{arctg}\frac{E}{mvc} \;\Rightarrow\; \varphi_m \approx 5\cdot 10^{-5}\text{ рад}. \qquad (8)\]

Вопрос d

По мере уменьшения скорости атомов частота, необходимая для резонансного поглощения, растёт согласно \[\nu = \frac{\dfrac{E}{h}}{1 + \dfrac{v_0}{c}}.\] Когда скорость равна \(v_0 = \Delta v\), поглощение всё ещё возможно в нижней части уровня, если \[h\nu = \frac{E - \dfrac{\Gamma}{2}}{1 + \dfrac{v_0 - \Delta v}{c}} = \frac{E}{1 + \dfrac{v_0}{c}} \;\Rightarrow\; \Delta v = \frac{c\Gamma}{2E}\left(1 + \frac{v_0}{c}\right), \qquad (9)\] \(\Delta v = 3{,}12\) м/с.

Вопрос e

Если каждый акт поглощения–испускания изменяет скорость на \(\Delta v_1 \approx \dfrac{E}{mc}\), то для уменьшения скорости от \(v_0\) почти до нуля потребуется \(N\) актов, где \[N = \frac{v_0}{|\Delta v_1|} \approx \frac{mcv_0}{E} \;\Rightarrow\; N \approx 3{,}56\cdot 10^4.\]

Вопрос f

Если поглощение происходит мгновенно, затраченное время определяется спонтанным испусканием. Атом остаётся в возбуждённом состоянии некоторое время \(\tau = \dfrac{h}{\Gamma}\), тогда \[\Delta t = N\tau = \frac{Nh}{\Gamma} = \frac{mchv_0}{\Gamma E} \;\Rightarrow\; \Delta t \approx 3{,}37\cdot 10^{-9}\text{ с}.\] Расстояние, пройденное за это время, \(\Delta S = v_0\Delta t/2\). Считая движение равнозамедленным: \[\Delta S = \frac12\,mchv_0^2\Gamma E \;\Rightarrow\; \Delta S \approx 1{,}75\text{ м}.\]