Масса нейтрино и распад нейтрона. Световая левитация

(a) Энергия электрона максимальна, когда «масса» пары протон — антинейтрино минимальна, т. е. когда они движутся как одно целое. (b) Сила левитации — разность импульсов, приносимых падающим светом и уносимых преломлёнными лучами, которые отклоняются от оси на малый угол \((n - 1)\theta_i\).

Часть A

(a) Пусть \((c^2E_e, c\vec q_e)\), \((c^2E_p, c\vec q_p)\) и \((c^2E_\nu, c\vec q_\nu)\) — 4-векторы энергии-импульса электрона, протона и антинейтрино соответственно в системе покоя нейтрона. Заметим, что все величины \(E_e, E_p, E_\nu, \vec q_e, \vec q_p, \vec q_\nu\) выражены в единицах массы. Протон и антинейтрино можно рассматривать как систему с полной массой покоя \(M_c\), полной энергией \(c^2E_c\) и полным импульсом \(c\vec q_c\). Тогда \[E_c = E_p + E_\nu,\qquad \vec q_c = \vec q_p + \vec q_\nu,\qquad M_c^2 = E_c^2 - q_c^2. \tag{A1}\] Заметим, что модуль вектора \(\vec q_c\) обозначен \(q_c\). То же соглашение применяется ко всем другим векторам.

Поскольку при распаде нейтрона энергия и импульс сохраняются, имеем \[E_c + E_e = m_n, \tag{A2}\] \[\vec q_c = -\vec q_e. \tag{A3}\] Возведение последнего уравнения в квадрат даёт равенство \[q_c^2 = q_e^2 = E_e^2 - m_e^2. \tag{A4}\] Из (A4) и третьего равенства (A1) получаем \[E_c^2 - M_c^2 = E_e^2 - m_e^2. \tag{A5}\] Перенеся второй и третий члены в другую часть равенства, уравнение (A5) можно разделить на (A2): \[E_c - E_e = \frac{1}{m_n}(M_c^2 - m_e^2). \tag{A6}\] Решая (A2) и (A6) как систему линейных уравнений, получаем \[E_c = \frac{1}{2m_n}(m_n^2 - m_e^2 + M_c^2), \tag{A7}\] \[E_e = \frac{1}{2m_n}(m_n^2 + m_e^2 - M_c^2). \tag{A8}\] С помощью (A8) последнее равенство (A4) можно переписать как \[q_e = \frac{1}{2m_n}\sqrt{(m_n^2 + m_e^2 - M_c^2)^2 - (2m_nm_e)^2} = \frac{1}{2m_n}\sqrt{(m_n + m_e + M_c)(m_n + m_e - M_c)(m_n - m_e + M_c)(m_n - m_e - M_c)}. \tag{A9}\] Из (A8) видно, что максимуму \(E_e\) соответствует минимум \(M_c^2\). Масса покоя \(M_c\) — это полная энергия пары протон — антинейтрино в их системе центра масс (или центра импульсов), поэтому она достигает минимума \[(M_c)_{min} = M = m_p + m_\nu, \tag{A10}\] когда протон и антинейтрино оба покоятся в системе центра масс. Следовательно, из (A8) и (A10) максимальная энергия электрона \(E = c^2E_e\) равна \[E_{max} = \frac{c^2}{2m_n}\left[m_n^2 + m_e^2 - (m_p + m_\nu)^2\right] \approx 1{,}292569\text{ МэВ} \approx 1{,}29\text{ МэВ}. \tag{A11}\] Когда выполняется (A10), протон и антинейтрино движутся с одной и той же скоростью \(v_m\) центра масс, и \[\frac{v_m}{c} = \left(\frac{q_\nu}{E_\nu}\right)_{E = E_{max}} = \left(\frac{q_p}{E_p}\right)_{E = E_{max}} = \left(\frac{q_c}{E_c}\right)_{E = E_{max}} = \left(\frac{q_e}{E_c}\right)_{M_c = m_p + m_\nu}, \tag{A12}\] где последнее равенство следует из (A3). С помощью (A7) и (A9) последнее выражение в (A12) позволяет найти скорость антинейтрино при \(E = E_{max}\). Таким образом, при \(M = m_p + m_\nu\) \[\frac{v_m}{c} = \frac{\sqrt{(m_n + m_e + M)(m_n + m_e - M)(m_n - m_e + M)(m_n - m_e - M)}}{m_n^2 - m_e^2 + M^2} \approx 0{,}00126538 \approx 0{,}00127. \tag{A13}\]

[Другое решение]

Пусть в системе покоя нейтрона электрон вылетает с импульсом \(c\vec q_e\) и энергией \(c^2E_e\), протон — с \(c\vec q_p\) и \(c^2E_p\), антинейтрино — с \(c\vec q_\nu\) и \(c^2E_\nu\). Обозначая модуль вектора \(\vec q_\alpha\) символом \(q_\alpha\), имеем \[E_p^2 = m_p^2 + q_p^2,\qquad E_\nu^2 = m_\nu^2 + q_\nu^2,\qquad E_e^2 = m_e^2 + q_e^2. \tag{1A}\] Сохранение энергии и импульса при распаде нейтрона даёт \[E_p + E_\nu = m_n - E_e, \tag{2A}\] \[\vec q_p + \vec q_\nu = -\vec q_e. \tag{3A}\] Возведение двух последних уравнений в квадрат даёт \[E_p^2 + E_\nu^2 + 2E_pE_\nu = (m_n - E_e)^2, \tag{4A}\] \[q_p^2 + q_\nu^2 + 2\vec q_p\cdot\vec q_\nu = q_e^2 = E_e^2 - m_e^2. \tag{5A}\] Вычитая (5A) из (4A) и используя (1A), получаем \[m_p^2 + m_\nu^2 + 2(E_pE_\nu - \vec q_p\cdot\vec q_\nu) = m_n^2 + m_e^2 - 2m_nE_e, \tag{6A}\] или, что равносильно, \[2m_nE_e = m_n^2 + m_e^2 - m_p^2 - m_\nu^2 - 2(E_pE_\nu - \vec q_p\cdot\vec q_\nu). \tag{7A}\] Если \(\theta\) — угол между \(\vec q_p\) и \(\vec q_\nu\), то \(\vec q_p\cdot\vec q_\nu = q_pq_\nu\cos\theta \le q_pq_\nu\), так что (7A) приводит к соотношению \[2m_nE_e \le m_n^2 + m_e^2 - m_p^2 - m_\nu^2 - 2(E_pE_\nu - q_pq_\nu). \tag{8A}\] Заметим, что равенство в (8A) выполняется только при \(\theta = 0\), т. е. энергия электрона \(c^2E_e\) принимает максимальное значение, только когда антинейтрино и протон движутся в одном направлении.

Пусть скорости протона и антинейтрино в системе покоя нейтрона равны \(c\beta_p\) и \(c\beta_\nu\) соответственно. Тогда \(q_p = \beta_pE_p\) и \(q_\nu = \beta_\nu E_\nu\). Как показано на рис. A1, введём для антинейтрино угол \(\phi_\nu\) (\(0 \le \phi_\nu < \pi/2\)): \[q_\nu = m_\nu\operatorname{tg}\phi_\nu,\qquad E_\nu = \sqrt{m_\nu^2 + q_\nu^2} = m_\nu\sec\phi_\nu,\qquad \beta_\nu = q_\nu/E_\nu = \sin\phi_\nu. \tag{9A}\]

Аналогично для протона запишем при \(0 \le \phi_p < \pi/2\) \[q_p = m_p\operatorname{tg}\phi_p,\qquad E_p = \sqrt{m_p^2 + q_p^2} = m_p\sec\phi_p,\qquad \beta_p = q_p/E_p = \sin\phi_p. \tag{10A}\] Тогда (8A) можно записать как \[2m_nE_e \le m_n^2 + m_e^2 - m_p^2 - m_\nu^2 - 2m_pm_\nu\left(\frac{1 - \sin\phi_p\sin\phi_\nu}{\cos\phi_p\cos\phi_\nu}\right). \tag{11A}\] Множитель в скобках в конце последнего уравнения можно записать как \[\frac{1 - \sin\phi_p\sin\phi_\nu}{\cos\phi_p\cos\phi_\nu} = \frac{1 - \sin\phi_p\sin\phi_\nu - \cos\phi_p\cos\phi_\nu}{\cos\phi_p\cos\phi_\nu} + 1 = \frac{1 - \cos(\phi_p - \phi_\nu)}{\cos\phi_p\cos\phi_\nu} + 1 \ge 1, \tag{12A}\] и он, очевидно, принимает наименьшее возможное значение 1 при \(\phi_p = \phi_\nu\), т. е. когда антинейтрино и протон движутся с одной и той же скоростью, так что \(\beta_p = \beta_\nu\). Таким образом, из (11A) следует, что максимальное значение \(E_e\) равно \[(E_e)_{max} = \frac{1}{2m_n}(m_n^2 + m_e^2 - m_p^2 - m_\nu^2 - 2m_pm_\nu) = \frac{1}{2m_n}\left[m_n^2 + m_e^2 - (m_p + m_\nu)^2\right], \tag{13A}\] а максимальная энергия электрона \(E = c^2E_e\) равна \[E_{max} = c^2(E_e)_{max} \approx 1{,}292569\text{ МэВ} \approx 1{,}29\text{ МэВ}. \tag{14A}\] Когда антинейтрино и протон движутся с одной и той же скоростью, из (9A), (10A), (2A), (3A) и (1A) получаем \[\beta_\nu = \beta_p = \frac{q_p}{E_p} = \frac{q_\nu}{E_\nu} = \frac{q_p + q_\nu}{E_p + E_\nu} = \frac{q_e}{m_n - E_e} = \frac{\sqrt{E_e^2 - m_e^2}}{m_n - E_e}. \tag{15A}\] Подставляя в последнее уравнение результат (13A), находим скорость \(v_m\) антинейтрино, когда электрон достигает максимальной энергии \(E_{max}\), при \(M = m_p + m_\nu\): \[\frac{v_m}{c} = (\beta_\nu)_{\max E_e} = \frac{\sqrt{(E_e)_{max}^2 - m_e^2}}{m_n - (E_e)_{max}} = \frac{\sqrt{(m_n^2 + m_e^2 - M^2)^2 - 4m_n^2m_e^2}}{2m_n^2 - (m_n^2 + m_e^2 - M^2)}\] \[= \frac{\sqrt{(m_n + m_e + M)(m_n + m_e - M)(m_n - m_e + M)(m_n - m_e - M)}}{m_n^2 - m_e^2 + M^2} \approx 0{,}00126538 \approx 0{,}00127. \tag{16A}\]

Часть B. Световая левитация

(b) См. рис. B1. Преломление света на сферической поверхности подчиняется закону Снеллиуса: \[n\sin\theta_i = \sin\theta_t. \tag{B1}\] Пренебрегая в синусах членами порядка \((\delta/R)^3\) и выше, получаем из (B1) \[n\theta_i \approx \theta_t. \tag{B2}\] Для треугольника \(\triangle FAC\) на рис. B1 \[\beta = \theta_t - \theta_i \approx n\theta_i - \theta_i = (n - 1)\theta_i. \tag{B3}\]

Пусть \(f_0\) — частота падающего света. Если \(n_p\) — число фотонов, падающих на плоскую поверхность на единицу площади в единицу времени, то полное число фотонов, падающих на плоскую поверхность в единицу времени, равно \(n_p\pi\delta^2\). Полная мощность \(P\) фотонов, падающих на плоскую поверхность, равна \((n_p\pi\delta^2)(hf_0)\), где \(h\) — постоянная Планка. Следовательно, \[n_p = \frac{P}{\pi\delta^2hf_0}. \tag{B4}\] Число фотонов, падающих в единицу времени на кольцо плоской поверхности с внутренним радиусом \(r\) и внешним радиусом \(r + dr\), равно \(n_p(2\pi r\,dr)\), где \(r = R\operatorname{tg}\theta_i \approx R\theta_i\). Поэтому \[n_p(2\pi r\,dr) \approx n_p(2\pi R^2)\theta_id\theta_i. \tag{B5}\] \(z\)-компонента импульса, уносимого в единицу времени этими фотонами после преломления на сферической поверхности, равна \[dF_z = n_p\frac{hf_0}{c}(2\pi r\,dr)\cos\beta \approx n_p\frac{hf_0}{c}(2\pi R^2)\left(1 - \frac{\beta^2}{2}\right)\theta_id\theta_i \approx n_p\frac{hf_0}{c}(2\pi R^2)\left[\theta_i - \frac{(n - 1)^2}{2}\theta_i^3\right]d\theta_i, \tag{B6}\] так что \(z\)-компонента полного импульса, уносимого в единицу времени, равна \[F_z = 2\pi R^2n_p\left(\frac{hf_0}{c}\right)\int_0^{\theta_{im}}\left[\theta_i - \frac{(n - 1)^2}{2}\theta_i^3\right]d\theta_i = \pi R^2n_p\left(\frac{hf_0}{c}\right)\theta_{im}^2\left[1 - \frac{(n - 1)^2}{4}\theta_{im}^2\right], \tag{B7}\] где \(\operatorname{tg}\theta_{im} = \dfrac{\delta}{R} \approx \theta_{im}\). Поэтому, используя (B5), имеем \[F_z = \frac{\pi R^2P}{\pi\delta^2hf_0}\left(\frac{hf_0}{c}\right)\frac{\delta^2}{R^2}\left[1 - \frac{(n - 1)^2\delta^2}{4R^2}\right] = \frac Pc\left[1 - \frac{(n - 1)^2\delta^2}{4R^2}\right]. \tag{B8}\]

Сила оптической левитации равна сумме \(z\)-компонент сил, действующих на стеклянную полусферу со стороны падающего и преломлённого света: \[\frac Pc + (-F_z) = \frac Pc - \frac Pc\left[1 - \frac{(n - 1)^2\delta^2}{4R^2}\right] = \frac{(n - 1)^2\delta^2}{4R^2}\frac Pc. \tag{B9}\] Приравнивая её весу \(mg\) стеклянной полусферы, получаем минимальную мощность лазера, необходимую для левитации полусферы: \[P = \frac{4mgcR^2}{(n - 1)^2\delta^2}. \tag{B10}\]