Пьезоэлектрический кварцевый резонатор под переменным напряжением
7/10Рассмотрим однородный стержень с длиной \(\ell\) в ненапряжённом состоянии и площадью поперечного сечения \(A\) (рис. 2a). Его длина изменяется на \(\Delta\ell\), когда к его торцам перпендикулярно им приложены равные и противоположно направленные силы величиной \(F\). Напряжение \(T\) на торцах определяется как \(F/A\). Относительное изменение его длины, т. е. \(\Delta\ell/\ell\), называется деформацией \(S\) стержня. Через напряжение и деформацию закон Гука можно записать как \[T = YS\quad\text{или}\quad \frac{F}{A} = Y\frac{\Delta\ell}{\ell}, \tag{1}\] где \(Y\) — модуль Юнга материала стержня. Заметим, что сжимающее напряжение \(T\) соответствует \(F < 0\) и уменьшению длины (т. е. \(\Delta\ell < 0\)). Такое напряжение, следовательно, отрицательно и связано с давлением \(p\) соотношением \(T = -p\).
Для однородного стержня плотностью \(\rho\) скорость распространения продольных волн (т. е. скорость звука) вдоль стержня равна \[u = \sqrt{Y/\rho}. \tag{2}\]
На рисунке: Figure 2a — рис. 2a.
При ответах на следующие вопросы затуханием и диссипацией можно пренебречь.
Часть A: механические свойства
Однородный полубесконечный стержень, простирающийся от \(x = 0\) до \(\infty\) (см. рис. 2b), имеет плотность \(\rho\). Вначале он неподвижен и не напряжён. Затем поршень в течение очень короткого времени \(\Delta t\) равномерно давит с малым давлением \(p\) на его левый торец при \(x = 0\), вызывая волну давления, распространяющуюся вправо со скоростью \(u\).
На рисунке: compressed — сжатый, unstressed — ненапряжённый, Figure 2b — рис. 2b.
На рисунке: unstressed — ненапряжённый, wave motion — при прохождении волны, Figure 2c — рис. 2c.
(a) Если поршень заставляет левый торец стержня двигаться с постоянной скоростью \(v\) (рис. 2b), каковы деформация \(S\) и давление \(p\) на левом торце в течение времени \(\Delta t\)? Ответы нужно дать только через \(\rho\), \(u\) и \(v\). (1,6 балла)
(b) Рассмотрим продольную волну, бегущую в стержне вдоль направления \(x\). Для поперечного сечения, находящегося в точке \(x\), когда стержень не напряжён (рис. 2c), пусть \(\xi(x, t)\) — его смещение в момент \(t\), и пусть \[\xi(x, t) = \xi_0\sin k(x - ut), \tag{3}\] где \(\xi_0\) и \(k\) — постоянные. Найдите соответствующие скорость \(v(x, t)\), деформацию \(S(x, t)\) и давление \(p(x, t)\) как функции \(x\) и \(t\). (2,4 балла)
Часть B: электромеханические свойства (включая пьезоэлектрический эффект)
Рассмотрим пластину кристалла кварца длиной \(b\), толщиной \(h\) и шириной \(w\) (рис. 2d). Её длина и толщина направлены вдоль осей \(x\) и \(z\). Электроды образованы тонкими металлическими покрытиями на её верхней и нижней поверхностях. Электрические выводы, служащие также креплением (рис. 2e), припаяны к центрам электродов, которые можно считать неподвижными при продольных колебаниях вдоль направления \(x\).
На рисунке: Figure 2d — рис. 2d.
На рисунке: quartz — кварц, electrodes — электроды, Figure 2e — рис. 2e.
Рассматриваемый кристалл кварца имеет плотность \(\rho = 2{,}65\cdot10^{3}\) кг/м\(^3\) и модуль Юнга \(Y = 7{,}87\cdot10^{10}\) Н/м\(^2\). Длина пластины \(b\) равна \(1{,}00\) см, а ширина \(w\) и высота \(h\) пластины таковы, что \(h \ll w\) и \(w \ll b\). При разомкнутом ключе \(K\) считаем, что в кварцевой пластине возбуждаются только продольные моды колебаний стоячей волны вдоль направления \(x\).
Для стоячей волны частоты \(f = \omega/2\pi\) смещение \(\xi(x, t)\) в момент \(t\) поперечного сечения пластины с положением равновесия \(x\) можно записать как \[\xi(x, t) = 2\xi_0g(x)\cos\omega t,\qquad (0 \le x \le b), \tag{4a}\] где \(\xi_0\) — положительная постоянная, а пространственная функция \(g(x)\) имеет вид \[g(x) = B_1\sin k\left(x - \frac b2\right) + B_2\cos k\left(x - \frac b2\right). \tag{4b}\] Максимальное значение \(g(x)\) равно единице, \(k = \omega/u\). Помните, что центры электродов неподвижны, а левый и правый торцы пластины свободны и должны иметь нулевое напряжение (или давление).
(c) Найдите значения \(B_1\) и \(B_2\) в уравнении (4b) для продольной стоячей волны в кварцевой пластине. (1,2 балла)
(d) Каковы две наименьшие частоты, на которых в кварцевой пластине могут возбуждаться продольные стоячие волны? (1,2 балла)
Пьезоэлектрический эффект — особое свойство кристалла кварца. Сжатие или растяжение кристалла создаёт на нём электрическое напряжение, и наоборот, внешнее напряжение, приложенное к кристаллу, заставляет его расширяться или сжиматься в зависимости от полярности напряжения. Поэтому механические и электрические колебания могут быть связаны и приведены в резонанс посредством кристалла кварца.
Чтобы учесть пьезоэлектрический эффект, пусть поверхностные плотности заряда на верхнем и нижнем электродах равны \(-\sigma\) и \(+\sigma\) соответственно, когда кварцевая пластина находится в электрическом поле \(E\), направленном вдоль \(z\). Обозначим деформацию и напряжение пластины вдоль направления \(x\) через \(S\) и \(T\) соответственно. Тогда пьезоэлектрический эффект в кристалле кварца описывается следующей системой уравнений: \[S = (1/Y)T + d_pE, \tag{5a}\] \[\sigma = d_pT + \varepsilon_TE, \tag{5b}\] где \(1/Y = 1{,}27\cdot10^{-11}\) м\(^2\)/Н — упругая податливость (т. е. величина, обратная модулю Юнга) при постоянном электрическом поле, \(\varepsilon_T = 4{,}06\cdot10^{-11}\) Ф/м — диэлектрическая проницаемость при постоянном напряжении, а \(d_p = 2{,}25\cdot10^{-12}\) м/В — пьезоэлектрический коэффициент.
Пусть ключ \(K\) на рис. 2d замкнут. Теперь на электроды действует переменное напряжение \(V(t) = V_m\cos\omega t\), и в кварцевой пластине возникает однородное электрическое поле \(E(t) = V(t)/h\), направленное вдоль \(z\). В установившемся режиме в пластине вдоль направления \(x\) возникают колебания продольной стоячей волны с циклической частотой \(\omega\).
Поскольку \(E\) однородно, длина волны \(\lambda\) и частота \(f\) продольной стоячей волны в пластине по-прежнему связаны соотношением \(\lambda = u/f\) с \(u\), даваемой уравнением (2). Но, как показывает уравнение (5a), соотношение \(T = YS\) больше не выполняется, хотя определения деформации и напряжения не меняются, а торцы пластины остаются свободными с нулевым напряжением.
(e) С учётом уравнений (5a) и (5b) поверхностная плотность заряда \(\sigma\) на нижнем электроде как функция \(x\) и \(t\) имеет вид \[\sigma(x, t) = \left[D_1\cos k\left(x - \frac b2\right) + D_2\right]\frac{V(t)}{h},\] где \(k = \omega/u\). Найдите выражения для \(D_1\) и \(D_2\). (2,2 балла)
(f) Полный поверхностный заряд \(Q(t)\) на нижнем электроде связан с \(V(t)\) соотношением \[Q(t) = \left[1 + \alpha^2\left(\frac{2}{kb}\operatorname{tg}\frac{kb}{2} - 1\right)\right]C_0V(t). \tag{6}\] Найдите выражение для \(C_0\), а также выражение и численное значение \(\alpha^2\). (1,4 балла)
▶Показать разборСкрыть разбор
ПодсказкаЗа время \(\Delta t\) торец сдвигается на \(v\Delta t\), а фронт волны уходит на \(u\Delta t\) — отсюда деформация. Неподвижный центр — узел смещения, свободные торцы — узлы напряжения. С пьезоэффектом напряжение \(T = Y(S - d_pE)\) должно обращаться в ноль на торцах при любом \(t\).
Ответ(a) \(S = -v/u\), \(p = \rho uv\); (b) \(v(x, t) = -ku\xi_0\cos k(x - ut)\), \(S(x, t) = k\xi_0\cos k(x - ut)\), \(p(x, t) = -k\rho u^2\xi_0\cos k(x - ut)\); (c) \(B_1 = \pm1\), \(B_2 = 0\); (d) \(f_1 = \dfrac{u}{2b} = 273\) кГц, \(f_3 = \dfrac{3u}{2b} = 818\) кГц; (e) \(D_1 = \dfrac{Yd_p^2}{\cos(kb/2)}\), \(D_2 = \varepsilon_T\left(1 - Y\dfrac{d_p^2}{\varepsilon_T}\right)\); (f) \(C_0 = \varepsilon_T\dfrac{bw}{h}\), \(\alpha^2 = Y\dfrac{d_p^2}{\varepsilon_T} = 9{,}82\cdot10^{-3}\).
РешениеЧасть A
(a) См. рис. A1. Левый торец стержня смещается на расстояние \(v\Delta t\), а волна давления проходит расстояние \(u\Delta t\), где \(u = \sqrt{Y/\rho}\). Деформация на левом торце \[S = \frac{\Delta\ell}{\ell} = \frac{-v\Delta t}{u\Delta t} = \frac{-v}{u}. \tag{A1a}\] По закону Гука давление на левом торце \[p = -YS = Y\frac{v}{u} = \rho uv. \tag{A1b}\]
(b) Скорость \(v\) связана со смещением \(\xi\) так же, как в гармоническом колебании (или равномерном движении по окружности, как показано на рис. A2) с циклической частотой \(\omega = ku\). Поэтому если \(\xi(x, t) = \xi_0\sin k(x - ut)\), то \[v(x, t) = -ku\xi_0\cos k(x - ut). \tag{A2}\] Деформация и давление связаны со скоростью так же, как в пункте (a). Следовательно, \[S(x, t) = -v(x, t)/u = k\xi_0\cos k(x - ut), \tag{A3}\] \[p(x, t) = \rho uv(x, t) = -k\rho u^2\xi_0\cos k(x - ut) = -YS(x, t) = -kY\xi_0\cos k(x - ut). \tag{A4}\]
Другой способ: ответы можно получить дифференцированием: \[v(x, t) = \frac{\Delta\xi}{\Delta t} = -ku\xi_0\cos k(x - ut),\qquad S(x, t) = \frac{\Delta\xi}{\Delta x} = k\xi_0\cos k(x - ut),\qquad p(x, t) = -Y\frac{\Delta\xi}{\Delta x} = -kY\xi_0\cos k(x - ut).\]
Часть B
(c) Поскольку циклическая частота \(\omega\) и скорость распространения \(u\) заданы, длина волны равна \(\lambda = 2\pi/k\) с \(k = \omega/u\). Поэтому пространственная зависимость смещения \(\xi\) описывается функцией \[g(x) = B_1\sin k\left(x - \frac b2\right) + B_2\cos k\left(x - \frac b2\right). \tag{B1}\] Поскольку центры электродов считаются неподвижными, \(g(b/2) = 0\). Отсюда \(B_2 = 0\). Так как максимум \(g(x)\) равен 1, имеем \(B_1 = \pm1\) и \[g(x) = \pm\sin\frac{\omega}{u}\left(x - \frac b2\right). \tag{B2}\] Таким образом, смещение \[\xi(x, t) = \pm2\xi_0\sin\frac{\omega}{u}\left(x - \frac b2\right)\cos\omega t. \tag{B3}\]
(d) Поскольку давление \(p\) (или напряжение \(T\)) должно обращаться в ноль на торцах кварцевой пластины (т. е. при \(x = 0\) и \(x = b\)), ответ на этот вопрос можно получить по аналогии с резонансными частотами звуковых волн в открытой трубе длиной \(b\). Однако, поскольку центры электродов неподвижны, все чётные гармоники основного тона нужно исключить, так как у них в средней плоскости пластины пучность, а не узел смещения.
Поскольку основной тон имеет длину волны \(\lambda = 2b\), основная частота равна \(f_1 = u/(2b)\). Скорость распространения \(u\) равна \[u = \sqrt{\frac{Y}{\rho}} = \sqrt{\frac{7{,}87\cdot10^{10}}{2{,}65\cdot10^{3}}} = 5{,}45\cdot10^{3}\text{ м/с}, \tag{B4}\] и при \(b = 1{,}00\cdot10^{-2}\) м две наименьшие частоты стоячих волн равны \[f_1 = \frac{u}{2b} = 273\text{ (кГц)},\qquad f_3 = 3f_1 = \frac{3u}{2b} = 818\text{ (кГц)}. \tag{B5}\]
[Другое решение пунктов (c) и (d)]: продольная стоячая волна в кварцевой пластине имеет узел смещения при \(x = b/2\). Её можно рассматривать как сумму двух волн, бегущих в противоположных направлениях. Поэтому её смещение и скорость должны иметь вид \[\xi(x, t) = \xi_m\left[\sin k\left(x - \frac b2 - ut\right) + \sin k\left(x - \frac b2 + ut\right)\right] = 2\xi_m\sin k\left(x - \frac b2\right)\cos\omega t, \tag{B6}\] \[v(x, t) = -ku\xi_m\left[\cos k\left(x - \frac b2 - ut\right) - \cos k\left(x - \frac b2 + ut\right)\right] = -2\omega\xi_m\sin k\left(x - \frac b2\right)\sin\omega t, \tag{B7}\] где \(\omega = ku\), а первое и второе слагаемые в квадратных скобках представляют волны, бегущие в направлениях \(+x\) и \(-x\) соответственно. Заметим, что (B6) совпадает с (B3), если положить \(\xi_m = \pm\xi_0\).
Для волны, бегущей в направлении \(-x\), скорость \(v\) в уравнениях (A1a) и (A1b) нужно заменить на \(-v\), так что \[S = \frac{-v}{u}\quad\text{и}\quad p = \rho uv\qquad\text{(волны, бегущие вдоль } +x\text{)}, \tag{B8}\] \[S = \frac{v}{u}\quad\text{и}\quad p = -\rho uv\qquad\text{(волны, бегущие вдоль } -x\text{)}. \tag{B9}\] Как и в пункте (b), деформация и давление поэтому равны \[S(x, t) = -k\xi_m\left[-\cos k\left(x - \frac b2 - ut\right) - \cos k\left(x - \frac b2 + ut\right)\right] = 2k\xi_m\cos k\left(x - \frac b2\right)\cos\omega t, \tag{B10}\] \[p(x, t) = -\rho u\omega\xi_m\left[\cos k\left(x - \frac b2 - ut\right) + \cos k\left(x - \frac b2 + ut\right)\right] = -2\rho u\omega\xi_m\cos k\left(x - \frac b2\right)\cos\omega t. \tag{B11}\] Заметим, что \(v\), \(S\) и \(p\) можно получить также дифференцированием \(\xi\), как в пункте (b).
Напряжение \(T\) или давление \(p\) должны быть равны нулю на обоих концах (\(x = 0\) и \(x = b\)) пластины в любой момент времени, поскольку концы свободны. Согласно (B11), это возможно, только если \(\cos(kb/2) = 0\), или \[kb = \frac{\omega}{u}b = \frac{2\pi f}{\lambda f}b = n\pi,\qquad n = 1, 3, 5, \ldots \tag{B12}\] Через длину волны \(\lambda\) уравнение (B12) можно записать как \[\lambda = \frac{2b}{n},\qquad n = 1, 3, 5, \ldots. \tag{B13}\] Частота равна \[f = \frac{u}{\lambda} = \frac{nu}{2b} = \frac{n}{2b}\sqrt{\frac{Y}{\rho}},\qquad n = 1, 3, 5, \ldots. \tag{B14}\] Это совпадает с результатами (B4) и (B5).
(e) Из уравнений (5a) и (5b) условия пьезоэлектрический эффект приводит к уравнениям \[T = Y(S - d_pE), \tag{B15}\] \[\sigma = Yd_pS + \varepsilon_T\left(1 - Y\frac{d_p^2}{\varepsilon_T}\right)E. \tag{B16}\] Поскольку \(x = b/2\) должно быть узлом смещения для любой продольной стоячей волны в пластине, смещение \(\xi\) и деформация \(S\) должны иметь вид, даваемый (B6) и (B10), т. е. при \(\omega = ku\) \[\xi(x, t) = \xi_m\sin k\left(x - \frac b2\right)\cos(\omega t + \phi), \tag{B17}\] \[S(x, t) = k\xi_m\cos k\left(x - \frac b2\right)\cos(\omega t + \phi), \tag{B18}\] где теперь во временные множители включена фазовая постоянная \(\phi\).
По предположению электрическое поле \(E\) между электродами однородно и зависит только от времени: \[E(x, t) = \frac{V(t)}{h} = \frac{V_m\cos\omega t}{h}. \tag{B19}\] Подставляя (B18) и (B19) в (B15), получаем \[T = Y\left[k\xi_m\cos k\left(x - \frac b2\right)\cos(\omega t + \phi) - \frac{d_p}{h}V_m\cos\omega t\right]. \tag{B20}\] Напряжение \(T\) должно быть равно нулю на обоих концах (\(x = 0\) и \(x = b\)) пластины в любой момент времени, поскольку они свободны. Это возможно, только если \(\phi = 0\) и \[k\xi_m\cos\frac{kb}{2} = d_p\frac{V_m}{h}. \tag{B21}\] Поскольку \(\phi = 0\), из (B16), (B18) и (B19) следует, что поверхностная плотность заряда должна иметь ту же зависимость от времени \(t\) и может быть записана как \[\sigma(x, t) = \sigma(x)\cos\omega t, \tag{B22}\] где зависимость от \(x\) имеет вид \[\sigma(x) = Yd_pk\xi_m\cos k\left(x - \frac b2\right) + \varepsilon_T\left(1 - Y\frac{d_p^2}{\varepsilon_T}\right)\frac{V_m}{h} = \left[Y\frac{d_p^2}{\cos\dfrac{kb}{2}}\cos k\left(x - \frac b2\right) + \varepsilon_T\left(1 - Y\frac{d_p^2}{\varepsilon_T}\right)\right]\frac{V_m}{h}. \tag{B23}\]
(f) В момент \(t\) полный поверхностный заряд \(Q(t)\) на нижнем электроде получается интегрированием \(\sigma(x, t)\) из (B22) по поверхности электрода. Результат: \[\frac{Q(t)}{V(t)} = \frac{1}{V(t)}\int_0^b\sigma(x, t)w\,dx = \frac{1}{V_m}\int_0^b\sigma(x)w\,dx = \frac wh\int_0^b\left[Y\frac{d_p^2}{\cos\dfrac{kb}{2}}\cos k\left(x - \frac b2\right) + \varepsilon_T\left(1 - Y\frac{d_p^2}{\varepsilon_T}\right)\right]dx\] \[= \left(\varepsilon_T\frac{bw}{h}\right)\left[Y\frac{d_p^2}{\varepsilon_T}\left(\frac{2}{kb}\operatorname{tg}\frac{kb}{2}\right) + \left(1 - Y\frac{d_p^2}{\varepsilon_T}\right)\right] = C_0\left[\alpha^2\left(\frac{2}{kb}\operatorname{tg}\frac{kb}{2}\right) + (1 - \alpha^2)\right], \tag{B24}\] где \[C_0 = \varepsilon_T\frac{bw}{h},\qquad \alpha^2 = Y\frac{d_p^2}{\varepsilon_T} = \frac{(2{,}25)^2\cdot10^{-2}}{1{,}27\times4{,}06} = 9{,}82\cdot10^{-3}. \tag{B25}\] (Постоянная \(\alpha\) называется коэффициентом электромеханической связи.)
Примечание: результат \(C_0 = \varepsilon_Tbw/h\) легко увидеть, рассмотрев статический предел \(k = 0\) уравнения (5) условия. Поскольку \(\operatorname{tg}x \approx x\) при \(x \ll 1\), имеем \[\lim_{k\to0}Q(t)/V(t) \approx C_0[\alpha^2 + (1 - \alpha^2)] = C_0. \tag{B26}\] Очевидно, постоянная \(C_0\) — это ёмкость плоского конденсатора, образованного электродами (площадью \(bw\)) с кварцевой пластиной (толщиной \(h\) и диэлектрической проницаемостью \(\varepsilon_T\)) в качестве диэлектрика. Поэтому она равна \(\varepsilon_Tbw/h\).
Похожие задачи
- ◇ встречные волны Савченко, №3.8.1
- ◇ сжатый участок отпустили Савченко, №3.8.2
- ◇ отражение от жёсткой стенки Савченко, №3.8.3
- Давление на стенку Савченко, №3.8.4
- ◇ отражение от свободной границы Савченко, №3.8.5
- Свободный конец стержня Савченко, №3.8.6