Задачи › Относительность движения, сложение скоростей

Оптический гироскоп

  1. Оптический гироскоп

    APhO 2002/03, 11 кл.
    6/10

    В 1913 году Жорж Саньяк (1869–1926) рассматривал применение кольцевого резонатора для поиска эфирного ветра относительно вращающейся системы отсчёта. Однако, как это часто бывает, его результаты оказались полезными так, как сам Саньяк и не мечтал. Одно из таких применений — волоконно-оптический гироскоп (ВОГ), основанный на простом явлении, впервые наблюдавшемся Саньяком. Основная физика эффекта Саньяка — сдвиг фаз, возникающий, когда два когерентных пучка света посылают по вращающемуся кольцу из оптического волокна в противоположных направлениях. Этот сдвиг фаз используют и для определения угловой скорости кольца.

    Как показано на схеме на рис. 1, световая волна входит в круговой световод из оптического волокна радиуса \(R\) в точке P на платформе, вращающейся с постоянной угловой скоростью \(\Omega\) по часовой стрелке. Здесь световая волна разделяется на две волны, которые идут по кольцу в противоположных направлениях: по часовой стрелке (CW) и против часовой стрелки (CCW). Показатель преломления материала оптического волокна равен \(\mu\). Считайте, что свет внутри волоконно-оптического кабеля идёт по гладкому круговому пути радиуса \(R\).

    Рисунок

    На рисунке: Optical fibre light path — световод из оптического волокна.

    a) На практике орбитальная скорость кольца много меньше скорости света, так что \((R\Omega)^2 \ll c^2\). Найдите разность времён \(\Delta t = t^+ - t^-\), где \(t^+\) и \(t^-\) — время полного обхода кольца пучком CW и CCW соответственно. Выразите ответ через площадь \(A\), охватываемую кольцом. (2 балла)

    b) Найдите разность оптических путей \(\Delta L\) пучков CW и CCW за один полный обход светом вращающегося кольца. (2 балла)

    c) Каково для кругового оптического волокна радиуса \(R = 1\) м максимальное значение \(\Delta L\) при вращении Земли? Дано \(\mu = 1{,}5\). (1 балл)

    d) В пункте b) измеряемый эффект можно усилить, увеличив число витков \(N\) волоконно-оптической катушки. Найдите разность фаз \(\Delta\theta\) для света, прошедшего все витки. (1 балл)

    Вторая схема оптического гироскопа — кольцевой лазерный гироскоп (КЛГ). Его можно получить, поместив активный лазерный резонатор в кольцо в форме равностороннего треугольника полной длины \(L\), как показано на рис. 2. Лазерный источник создаёт здесь два усиленных когерентных пучка света, распространяющихся в противоположных направлениях. Чтобы в таком треугольном кольцевом резонаторе поддерживалась лазерная генерация, периметр кольца должен быть равен целому числу длин волн \(\lambda\). Эталон — дополнительный элемент, вставленный в кольцо, — может вызывать частотно-избирательные потери в кольцевом резонаторе, так что нежелательные моды затухают и подавляются.

    Рисунок

    Рис. 2: схема кольцевого лазерного гироскопа. На рисунке: Detector — детектор, 50% coated mirror — зеркало с покрытием 50%, Etalon — эталон, Laser tube — лазерная трубка.

    Рисунок

    Рис. 3: кольцевой лазерный гироскоп, рассматриваемый в задаче.

    e) Найдите разность времён прохождения \(\Delta t\) по часовой и против часовой стрелки для треугольного кольца, показанного на рис. 2. Выразите ответ через \(\Omega\) и площадь \(A\), охватываемую кольцом. Покажите, что результат такой же, как для кругового кольца. (2 балла)

    f) Если кольцо вращается с угловой частотой \(\Omega\), как показано на рис. 2, то при измерениях CW и CCW возникнет разность частот. Какова наблюдаемая частота биений \(\Delta\nu\) между пучками CW и CCW, выраженная через \(L\), \(\Omega\), \(\lambda\)? (2 балла)

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Рассмотрите движение света в лабораторной системе: пока свет обходит кольцо, точка ввода смещается навстречу или вдогонку. Для треугольника важна лишь проекция скорости стенки на направление луча — она одинакова вдоль всей стороны. Частота моды резонатора обратно пропорциональна эффективному периметру.

    Ответ

    a) \(\Delta t \approx \dfrac{4\pi R^2\Omega}{(c')^2} = \dfrac{4A\Omega}{(c')^2}\), \(c' = c/\mu\);  b) \(\Delta L = c'\Delta t = \dfrac{4\pi R^2\Omega}{c'}\);  c) \(\Delta L \cong 4{,}5\times10^{-12}\) м;  d) \(\Delta\theta = \dfrac{8\pi^2R^2N\Omega}{c\lambda'}\), \(\lambda' = \lambda/\mu\);  e) \(\Delta t = \dfrac{4\Omega A}{c^2}\);  f) \(\Delta\nu = \dfrac{1}{\sqrt3}\dfrac{L}{\lambda}\Omega\).

    Решение

    Световая волна распространяется в среде с показателем преломления \(\mu\) со скоростью \(c' = \dfrac{c}{\mu}\). Длина волны света в среде \(\lambda' = \dfrac{\lambda}{\mu}\), где \(\lambda\) — длина волны света в вакууме.

    a) Время прохождения для пучка CW: \[t^+ = \frac{2\pi R + R\Omega t^+}{c'} = \frac{2\pi R}{c'}\left(1 - \frac{R\Omega}{c'}\right)^{-1}.\] Время прохождения для пучка CCW: \[t^- = \frac{2\pi R - R\Omega t^-}{c'} = \frac{2\pi R}{c'}\left(1 + \frac{R\Omega}{c'}\right)^{-1}.\] Разность времён \(t^+\) и \(t^-\): \[\Delta t = \frac{4\pi R^2\Omega}{(c')^2 - R^2\Omega^2}.\] Поскольку \((R\Omega)^2 \ll (c')^2\), \[\Delta t \approx \frac{4\pi R^2\Omega}{(c')^2}.\]

    b) Разность оптических путей за полный обход \(\Delta L\) равна \[\Delta L = c'\Delta t = \frac{4\pi R^2\Omega}{c'}.\]

    c) \(\Delta L \cong 4{,}5\times10^{-12}\) м.

    d) Соответствующая разность оптических фаз \(\Delta\theta\) равна \[\Delta\theta = \frac{2\pi\Delta L}{\lambda'} = \frac{8\pi^2R^2\Omega}{c\lambda'},\quad\text{где } \lambda' = \frac{\lambda}{\mu}.\] Для \(N\) витков волоконно-оптического кольца \[\Delta\theta = \frac{8\pi^2R^2N\Omega}{c\lambda'}.\]

    e)

    Рисунок

    На рисунке показано треугольное кольцо, вращающееся вокруг центра O с угловой скоростью \(\Omega\) по часовой стрелке. Не ограничивая общности, рассмотрим сначала скорость света вдоль AC в направлениях CW и CCW: \[v_\pm = c \pm R\Omega\cos\theta = c \pm \Omega h,\quad\text{где } h \text{ постоянно};\] \[\tau_\pm = \frac{L/3}{v_\pm} = \frac{L/3}{c\pm\Omega h} \approx \frac{L/3}{c}\left(1 \mp \frac{\Omega h}{c}\right),\] где \(\tau_\pm\) — время прохождения светом стороны AC в направлениях CW и CCW; \[t_\pm = \frac{L}{v_\pm} = \frac{L}{c\pm\Omega h} \approx \frac{L}{c}\left(1 \mp \frac{\Omega h}{c}\right),\] где \(L\) — периметр треугольного кольца.

    Следовательно, разность времён прохождения светом одного полного обхода \[\Delta t = \frac{2\Omega Lh}{c^2} = \frac{4\Omega}{c^2}\left(\frac12 Lh\right) = \frac{4\Omega A}{c^2},\] где \(A\) — площадь треугольного кольца.

    f) Резонансные частоты связаны с \(L_\pm\) — эффективными длинами резонатора, которые «видят» пучки, распространяющиеся по часовой и против часовой стрелки соответственно: \[L_+ = ct^+ \approx L\left(1 - \frac{\Omega h}{c}\right),\] \[L_- = ct^- \approx L\left(1 + \frac{\Omega h}{c}\right),\] где \(L_\pm\) — периметр равностороннего треугольника для CW (\(+\)) и CCW (\(-\)); мы также использовали то, что \(h\Omega \ll c\). Следовательно, \[\Delta L = L_- - L_+ = 2L\frac{\Omega h}{c} = \frac{4\Omega A}{c} = \frac{\Omega L^2}{\sqrt3\,c}.\] Условие поддержания лазерной генерации (дано в условии): \[\nu_\pm = \frac{m}{L_\pm}c,\quad m = 1, 2, 3, \ldots \text{ — целые},\] \[\Delta\nu = \nu_- - \nu_+ = \frac{m}{L_-}c - \frac{m}{L_+}c \approx mc\frac{\Delta L}{L^2} = \nu\frac{\Delta L}{L};\]

    приближение следует из \(L_+L_- \approx L^2\), где \(L\) — периметр треугольного кольца. Следовательно, \[\Delta\nu = \frac{\Delta L}{L}\nu = \frac{4A}{Lc}\nu\Omega = \frac{1}{\sqrt3}\frac{L}{\lambda}\Omega .\]

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх