Задачи › Законы Кеплера, орбиты

Переход спутника на другую орбиту

  1. Переход спутника на другую орбиту

    APhO 2002/03, 11 кл.
    5/10

    В недалёком будущем мы сами можем принять участие в запуске спутника, а это, с точки зрения физики, требует лишь применения простой механики.

    Рисунок

    a) Спутник массы \(m\) в настоящее время обращается вокруг Земли массы \(M\) по круговой орбите радиуса \(R_0\). Чему равна скорость \((u_0)\) тела массы \(m\), выраженная через \(M\), \(R_0\) и гравитационную постоянную \(G\)? (1 балл)

    b) Мы хотим перевести этот спутник на траекторию, которая приведёт его в точку P на расстоянии \(R_1\) от центра Земли, увеличив (почти мгновенно) его скорость в точке Q от \(u_0\) до \(u_1\). Чему равно \(u_1\), выраженное через \(u_0\), \(R_0\), \(R_1\)? (2 балла)

    c) Найдите минимальное значение \(u_1\), выраженное через \(u_0\), при котором спутник сможет полностью покинуть сферу влияния Земли. (1 балл)

    d) (В условиях пункта b.) Чему равна скорость \((u_2)\) спутника в точке P, выраженная через \(u_0\), \(R_0\), \(R_1\)? (1 балл)

    e) Теперь мы хотим перевести спутник в точке P на круговую орбиту радиуса \(R_1\), увеличив значение \(u_2\) (почти мгновенно) до \(u_3\). Чему равна величина \(u_3\), выраженная через \(u_2\), \(R_0\), \(R_1\)? (1 балл)

    f)

    Рисунок

    На рисунке: mean orbit of radius \(R_1\) — средняя орбита радиуса \(R_1\).

    Если спутник слегка и мгновенно возмутить в радиальном направлении так, что он отклонится от своей прежде идеально круговой орбиты радиуса \(R_1\), найдите период \(T\) колебаний \(r\) около среднего расстояния \(R_1\).

    Подсказка: при необходимости можно использовать уравнение движения спутника по орбите \[m\left[\frac{d^2}{dt^2}r - \left(\frac{d}{dt}\theta\right)^2 r\right] = -G\frac{Mm}{r^2} \tag{1}\] и закон сохранения момента импульса \[mr^2\frac{d}{dt}\theta = \text{const}. \tag{2}\] (3 балла)

    g) Сделайте примерный набросок всей возмущённой орбиты вместе с невозмущённой. (1 балл)

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    При переходе с одной орбиты на другую сохраняются момент импульса и энергия спутника. Для малых колебаний подставьте \(r = R_1 + \eta\) в радиальное уравнение, исключив \(d\theta/dt\) с помощью сохранения момента импульса, и линеаризуйте по \(\eta\).

    Ответ

    a) \(u_0 = \sqrt{GM/R_0}\);  b) \(u_1 = u_0\sqrt{\dfrac{2R_1}{R_1+R_0}}\);  c) \(u_1 = \sqrt2\,u_0\);  d) \(u_2 = u_0\dfrac{\sqrt2\,R_0}{\sqrt{R_1(R_1+R_0)}}\);  e) \(u_3 = u_2\sqrt{\dfrac{R_1+R_0}{2R_0}}\);  f) \(T = 2\pi\sqrt{R_1^3/(GM)}\) — равен периоду обращения по орбите.

    Решение

    a) \[\frac{mu_0^2}{R_0} = \frac{GMm}{R_0^2},\qquad u_0 = \sqrt{\frac{GM}{R_0}}.\]

    b) Сохранение момента импульса: \(mu_1R_0 = mu_2R_1\).

    Сохранение энергии: \(\frac12 mu_2^2 - \dfrac{GMm}{R_1} = \frac12 mu_1^2 - \dfrac{GMm}{R_0}\). \[\left[\left(\frac{R_0}{R_1}\right)^2 - 1\right]u_1^2 = 2GM\left[\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_0}\right],\] \[\frac{(R_0-R_1)(R_0+R_1)}{R_1^2}\,u_1^2 = (2GM)\frac{(R_0-R_1)}{R_0R_1},\] \[u_1 = \sqrt{\frac{GM}{R_0}}\sqrt{\frac{2R_1}{R_1+R_0}} = u_0\sqrt{\frac{2R_1}{R_1+R_0}}.\]

    c) \[\lim_{R_1\to\infty}u_1 = \sqrt2\,u_0 .\]

    d) \[u_2 = u_1\frac{R_0}{R_1} = u_0\frac{\sqrt2\,R_0}{\sqrt{R_1(R_1+R_0)}}.\]

    e) \[\begin{aligned} u_3 &= \sqrt{\frac{GM}{R_1}} = \sqrt{\frac{GM}{R_0}}\sqrt{\frac{R_0}{R_1}} = u_0\sqrt{\frac{R_0}{R_1}} \\ &= \sqrt{\frac{R_0}{R_1}}\sqrt{\frac{R_1(R_1+R_0)}{\sqrt2R_0}}\,u_2 , \end{aligned}\]

    \[u_3 = u_2\sqrt{\frac{R_1+R_0}{2R_0}}.\]

    f) Объединяя уравнения (1) и (2): \[\frac{d^2}{dt^2}r - \frac{C/m}{r^3} = -\frac{GM}{r^2},\] а для круговой орбиты радиуса \(R_1\) имеем \(\dfrac{C}{m} = GMR_1\), следовательно, \[\frac{d^2}{dt^2}r - \frac{GMR_1}{r^3} = -\frac{GM}{r^2}.\] Положим \(r = R_1 + \eta\), где \(\eta \ll R_1\): \[\therefore\quad \frac{d^2}{dt^2}\eta - \frac{GMR_1}{R_1^3\left(1+\dfrac{\eta}{R_1}\right)^3} = -\frac{GM}{R_1^2\left(1+\dfrac{\eta}{R_1}\right)^2},\] \[\frac{d^2}{dt^2}\eta - \frac{GM}{R_1^2}\left(1 - 3\frac{\eta}{R_1}\right) \approx -\frac{GM}{R_1^2}\left(1 - 2\frac{\eta}{R_1}\right),\] \[\frac{d^2}{dt^2}\eta \approx -\frac{GM}{R_1^3}\,\eta .\] Частота колебаний около среднего расстояния \(f = \dfrac{1}{2\pi}\sqrt{\dfrac{GM}{R_1^3}}\), период \[T = \frac1f = 2\pi\sqrt{\frac{R_1^3}{GM}}.\] Заметим, что этот период совпадает с периодом обращения по орбите.

    g)

    Рисунок

    На рисунке: perturbed orbit — возмущённая орбита, unperturbed orbit — невозмущённая орбита.

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх