Задачи › Теорема Гаусса

Плазменная линза

  1. Плазменная линза

    APhO 2002/03, 11 кл.
    5/10

    Физика интенсивных пучков частиц имеет большое значение не только для фундаментальных исследований, но и для применений в медицине и промышленности. Плазменная линза — устройство, обеспечивающее сверхсильную финальную фокусировку в конце линейных коллайдеров. Чтобы оценить возможности плазменной линзы, естественно сравнить её с обычными магнитными и электростатическими линзами. В магнитных линзах фокусирующая способность пропорциональна градиенту магнитного поля. Практический верхний предел для квадрупольной фокусирующей линзы — порядка \(10^2\) Тл/м, тогда как для плазменной линзы с плотностью \(10^{17}\text{ см}^{-3}\) фокусирующая способность эквивалентна градиенту магнитного поля \(3\times10^6\) Тл/м (примерно на четыре порядка больше, чем у магнитной квадрупольной линзы).

    Далее мы выясним, почему интенсивные пучки релятивистских частиц могут самофокусироваться и не разлетаются в свободном пространстве.

    a) Рассмотрим длинный цилиндрический электронный пучок с однородной концентрацией \(n\) и средней скоростью \(v\) (обе величины — в лабораторной системе отсчёта). Получите методами классической электродинамики выражение для электрического поля в точке на расстоянии \(r\) от центральной оси пучка. (1 балл)

    b) Получите выражение для магнитного поля в той же точке, что и в пункте a). (2 балла)

    c) Чему тогда равна результирующая сила, направленная наружу, действующая на электрон пучка, проходящий через эту точку? (1 балл)

    d) Считая, что выражение, полученное в пункте c), применимо при релятивистских скоростях, найдите силу, действующую на электрон, когда \(v\) стремится к скорости света \(c\), где \(c = \dfrac{1}{\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}}\). (1 балл)

    e) Если электронный пучок радиуса \(R\) входит в плазму однородной плотности \(n_0 < n\) (плазма — ионизированный газ из ионов и электронов с одинаковой плотностью заряда), какова будет результирующая сила, действующая на неподвижный ион плазмы на расстоянии \(r'\) вне электронного пучка, спустя долгое время после входа пучка в плазму? Можно считать, что плотность ионов плазмы остаётся постоянной и цилиндрическая симметрия сохраняется. (3 балла)

    f) Какова по прошествии достаточно долгого времени результирующая сила, действующая на электрон на расстоянии \(r\) от центральной оси пучка в плазме, при \(v\to c\), если плотность ионов плазмы остаётся постоянной и цилиндрическая симметрия сохраняется? (2 балла)

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Электрическое поле пучка найдите по теореме Гаусса, магнитное — по теореме о циркуляции; при \(v\to c\) электрическое отталкивание и магнитное притяжение компенсируются. В плазме электроны выталкиваются полем пучка, а оставшиеся неподвижные ионы создают нескомпенсированное фокусирующее поле.

    Ответ

    a) \(E_r = -\dfrac{ner}{2\varepsilon_0}\);  b) \(B_\theta = -\dfrac{\mu_0nerv}{2}\);  c) \(\vec F = \dfrac{ne^2r}{2\varepsilon_0}\left(1 - \dfrac{v^2}{c^2}\right)\hat r\);  d) \(F_r\to0\);  e) для положительного иона \(F_{r'} = -\dfrac{ne^2R^2}{2\varepsilon_0r'} + \dfrac{n_0e^2r'}{2\varepsilon_0}\) (для электрона — с обратным знаком);  f) \(\vec F \approx -\dfrac{n_0e^2r}{2\varepsilon_0}\hat r\).

    Решение

    a) Рассмотрим цилиндрическую гауссову поверхность радиуса \(r\) и длины \(\ell\) вокруг центральной оси. По теореме Гаусса \[\begin{aligned} E\,2\pi r\ell &= \frac{1}{\varepsilon_0}(\text{заряд внутри}) \\ &= -\frac{1}{\varepsilon_0}ne(\pi r^2\ell), \end{aligned}\] \[E_r = -\frac{ner}{2\varepsilon_0}.\]

    b) По теореме о циркуляции (закону Ампера) \[B_\theta = -\frac{\mu_0nerv}{2}.\]

    c) Результирующая сила Лоренца равна \[\vec F = \left(\frac{ne^2r}{2\varepsilon_0} - \frac{\mu_0ne^2rv^2}{2}\right)\hat r = \frac{ne^2r}{2\varepsilon_0}\left(1 - \frac{v^2}{c^2}\right)\hat r,\] где \(c = \dfrac{1}{\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}}\).

    d) \(F_r\to0\) при \(v\to c\); это означает, что электрическая и магнитная силы компенсируют друг друга.

    e) У неподвижных частиц плазмы \(v = 0\), поэтому \(F_{r'} = \pm eE_{r'}\), где \[E_{r'} = -\frac{neR^2}{2\varepsilon_0r'} + \frac{n_0er'}{2\varepsilon_0}.\] Для положительного иона \[F_{r'} = -\frac{ne^2R^2}{2\varepsilon_0r'} + \frac{n_0e^2r'}{2\varepsilon_0},\] для электрона \[F_{r'} = \frac{ne^2R^2}{2\varepsilon_0r'} - \frac{n_0e^2r'}{2\varepsilon_0},\] и компенсации со стороны магнитной силы нет. В результате электроны плазмы выталкиваются наружу, а ионы втягиваются внутрь.

    f) Результирующая сила, действующая на электронный пучок в плазме, равна \[\vec F = \frac{ne^2r}{2\varepsilon_0}\left(1 - \frac{v^2}{c^2}\right)\hat r - \frac{n_0e^2r}{2\varepsilon_0}\hat r ;\] в пределе \(v\to c\) \[\vec F \approx -\frac{n_0e^2r}{2\varepsilon_0}\hat r .\]

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх