Цилиндрический конденсатор

По определению, ёмкость конденсатора равна \(C = q/|\Delta\varphi|\). Чтобы найти ёмкость конденсатора, его нужно «зарядить» произвольным зарядом \(q\) и вычислить возникшую между обкладками разность потенциалов \(|\Delta\varphi|\), которая по определению равна \[|\Delta\varphi| = \left|\dfrac{A}{q_0}\right|,\] где \(A\) — работа по перемещению пробного заряда \(q_0\) между обкладками заряженного конденсатора. Для того, чтобы найти работу \(A\), построим график зависимости силы, действующей на пробный заряд \(q_0\), от расстояния \(x\) (рис. 81, а): \[F(x) = q_0E = q_0k/x.\]

Искомая работа \(A\) складывается из элементарных работ \(\Delta A_i = F_i\Delta x_i\) (площади прямоугольных столбиков на графике) и численно равна площади заштрихованной криволинейной трапеции \(S_1\). Если теперь, не изменяя заряда \(q\), увеличить \(R\) и \(r\) в два раза, то искомая работа будет изображаться площадью \(S_2\) (рис. 81, б). Легко сообразить, что \(S_1 = S_2\) (при сохранении способа разбиения и полного числа элементов-прямоугольников, каждый такой прямоугольник растянется вдвое по оси \(x\) и уменьшится вдвое по оси \(F\)). Таким образом, ёмкость цилиндрического конденсатора не изменяется при одновременном изменении размеров \(R\) и \(r\) в одинаковое число раз.

Изменение длины цилиндров приводит к пропорциональному изменению ёмкости, так как при этом изменяется площадь обкладок при неизменном расстоянии между ними.

Итак, увеличение радиусов \(R\) и \(r\) в два раза не изменит ёмкости конденсатора, а уменьшение длины \(l\) в три раза приведёт к уменьшению его ёмкости втрое: \[C_1 = \dfrac{1}{3}C_0.\]