Задачи › Механическая энергия, консервативные системы

Груз в колодце

  1. Груз в колодце

    ВсОШ 1992/93, 10 кл.
    7/10

    На дне колодца лежит небольшого размера груз, привязанный к невесомому упругому шнуру. Другой конец шнура прикреплён к оси колодезного ворота, а на самом шнуре сделана метка (рис. 11.10). В начальный момент времени шнур не провисает и не растянут. Затем ворот начинают вращать, наматывая шнур на ось. Какую работу нужно совершить, чтобы оторвать груз от дна колодца? В начальный момент длина шнура равна \(l\), а метка на шнуре находится на расстоянии \(0{,}9l\) от дна колодца. Известно также, что шнур, наматываясь на ворот, не проскальзывает по нему, а метка в момент отрыва груза от дна колодца оказывается на оси ворота.

    Рисунок
    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Ответ

    \(A = \dfrac{mgl}{18}\).

    Решение

    Обозначим длину растянутого шнура через \(L = 10l/9\), а его коэффициент упругости — через \(k\). Вся работа пойдёт на увеличение потенциальной энергии шнура: \[A = \Delta E_{\text{пот}} = k\dfrac{(L - l)^2}{2}.\] Из условия имеем \(mg = \dfrac{1}{9}kl\). Отсюда получаем \[A = \dfrac{9mg}{l}\dfrac{l^2}{2\cdot9^2} = \dfrac{mgl}{18}.\] Для сравнения можно вычислить работу по натяжению шнура длиной \(0{,}9\,l\) до длины \(l\): \(A^* = \dfrac{mgl}{20}\). Очевидно, что эта работа должна быть немного меньше вычисленной выше, так как часть работы \(A\) перейдёт в упругую энергию участка шнура, намотанного на ворот.

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх