Качели с падающим грузом

Подсказка

Длина нити \(s + R\theta\) постоянна, поэтому точка касания \(Q\) движется по окружности, а частица относительно \(Q\) — перпендикулярно нити. Нить перестаёт быть прямой, когда её натяжение обращается в ноль; натяжение находите из второго закона Ньютона вдоль нити и закона сохранения энергии.

Решение

Часть A

(a) Поскольку длина нити \(L = s + R\theta\) постоянна, скорость её изменения должна быть равна нулю. Отсюда \[\dot s + R\dot\theta = 0. \tag{A1}\]

(b) Относительно \(O\) точка \(Q\) движется по окружности радиусом \(R\) с угловой скоростью \(\dot\theta\), поэтому \[\vec v_Q = R\dot\theta\,\hat t = -\dot s\,\hat t. \tag{A2}\]

(c) См. рис. A1. Относительно \(Q\) перемещение \(P\) за интервал времени \(\Delta t\) равно \(\Delta\vec r\,' = (s\Delta\theta)(-\hat r) + (\Delta s)\hat t = [(s\dot\theta)(-\hat r) + \dot s\,\hat t]\Delta t\). Отсюда \[\vec v\,' = -s\dot\theta\,\hat r + \dot s\,\hat t. \tag{A3}\]

(d) Скорость частицы относительно \(O\) равна сумме двух относительных скоростей, даваемых уравнениями (A2) и (A3), так что \[\vec v = \vec v\,' + \vec v_Q = (-s\dot\theta\,\hat r + \dot s\,\hat t) + R\dot\theta\,\hat t = -s\dot\theta\,\hat r. \tag{A4}\]

(e) См. рис. A2. Компонента изменения скорости \(\Delta\vec v\) вдоль \((-\hat t)\) равна \((-\hat t)\cdot\Delta\vec v = v\Delta\theta = v\dot\theta\Delta t\). Поэтому \(\hat t\)-компонента ускорения \(\vec a = \Delta\vec v/\Delta t\) равна \(\hat t\cdot\vec a = -v\dot\theta\). Поскольку, согласно (A4), скорость частицы \(v\) равна \(s\dot\theta\), \(\hat t\)-компонента ускорения частицы в точке \(P\) равна \[\vec a\cdot\hat t = -v\dot\theta = -(s\dot\theta)\dot\theta = -s\dot\theta^2. \tag{A5}\]

Заметим, что по рис. A2 радиальную компоненту ускорения можно получить также как \(\vec a\cdot\hat r = -dv/dt = -d(s\dot\theta)/dt\).

(f) См. рис. A3. Гравитационная потенциальная энергия частицы равна \(U = -mgh\). Её можно выразить через \(s\) и \(\theta\): \[U(\theta) = -mg[R(1 - \cos\theta) + s\sin\theta]. \tag{A6}\]

(g) В нижней точке траектории гравитационная потенциальная энергия частицы \(U\) должна принимать минимальное значение \(U_m\). Дифференцируя (A6) по \(\theta\) и используя (A1), можно найти угол \(\theta_m\), соответствующий минимуму гравитационной энергии: \[\frac{dU}{d\theta} = -mg\left(R\sin\theta + \frac{ds}{d\theta}\sin\theta + s\cos\theta\right) = -mg[R\sin\theta + (-R)\sin\theta + s\cos\theta] = -mgs\cos\theta.\] При \(\theta = \theta_m\) \(\left.\dfrac{dU}{d\theta}\right|_{\theta_m} = 0\). Получаем \(\theta_m = \dfrac{\pi}{2}\). Нижняя точка траектории частицы показана на рис. A4, где длина участка нити \(QP\) равна \(s = L - \pi R/2\).

По рис. A4 или уравнению (A6) минимальная потенциальная энергия тогда равна \[U_m = U(\pi/2) = -mg[R + L - (\pi R/2)]. \tag{A7}\] Вначале полная механическая энергия \(E\) равна 0. Поскольку \(E\) сохраняется, скорость \(v_m\) частицы в нижней точке траектории должна удовлетворять условию \[E = 0 = \frac12mv_m^2 + U_m. \tag{A8}\] Из (A7) и (A8) получаем \[v_m = \sqrt{-2U_m/m} = \sqrt{2g[R + (L - \pi R/2)]}. \tag{A9}\]

Часть B

(h) Согласно (A6), полную механическую энергию частицы можно записать как \[E = 0 = \frac12mv^2 + U(\theta) = \frac12mv^2 - mg[R(1 - \cos\theta) + s\sin\theta]. \tag{B1}\] Согласно (A4), скорость \(v\) равна \(s\dot\theta\). Поэтому из (B1) следует \[v^2 = (s\dot\theta)^2 = 2g[R(1 - \cos\theta) + s\sin\theta]. \tag{B2}\] Пусть \(T\) — натяжение нити. Тогда, как видно из рис. B1, \(\hat t\)-компонента результирующей силы, действующей на частицу, равна \(-T + mg\sin\theta\). Согласно (A5), тангенциальное ускорение частицы равно \((-s\dot\theta^2)\). Поэтому по второму закону Ньютона \[m(-s\dot\theta^2) = -T + mg\sin\theta. \tag{B3}\]

Согласно двум последним уравнениям, натяжение можно выразить как \[T = m(s\dot\theta^2 + g\sin\theta) = \frac{mg}{s}[2R(1 - \cos\theta) + 3s\sin\theta] = \frac{2mgR}{s}\left[\operatorname{tg}\frac{\theta}{2} - \frac32\left(\theta - \frac{L}{R}\right)\right](\sin\theta) = \frac{2mgR}{s}(y_1 - y_2)(\sin\theta). \tag{B4}\] Функции \(y_1 = \operatorname{tg}(\theta/2)\) и \(y_2 = 3(\theta - L/R)/2\) построены на рис. B2.

Из (B4) и рис. B2 получаем результат, приведённый в таблице B1. Угол, при котором \(y_2 = y_1\), обозначается \(\theta_s\) (\(\pi < \theta_s < 2\pi\)) и определяется уравнением \[\frac32\left(\theta_s - \frac{L}{R}\right) = \operatorname{tg}\frac{\theta_s}{2}, \tag{B5}\] или, что равносильно, \[\frac{L}{R} = \theta_s - \frac23\operatorname{tg}\frac{\theta_s}{2}. \tag{B6}\] Поскольку отношение \(L/R\) задано как \[\frac{L}{R} = \frac{9\pi}{8} + \frac23\operatorname{ctg}\frac{\pi}{16} = \left(\pi + \frac{\pi}{8}\right) - \frac23\operatorname{tg}\frac12\left(\pi + \frac{\pi}{8}\right), \tag{B7}\] из двух последних уравнений сразу видно, что \(\theta_s = 9\pi/8\).

Таблица B1

Из таблицы B1 видно, что натяжение \(T\) должно быть положительным (т. е. нить должна быть натянутой и прямой) в диапазоне углов \(0 < \theta < \theta_s\). Как только \(\theta\) достигает \(\theta_s\), натяжение \(T\) обращается в ноль, и часть нити, не касающаяся стержня, после этого уже не будет прямой. Поэтому наименьшее возможное значение \(s_{min}\) длины \(s\) отрезка \(QP\) достигается при \(\theta = \theta_s\) и равно \[s_{min} = L - R\theta_s = R\left(\frac{9\pi}{8} + \frac23\operatorname{ctg}\frac{\pi}{16} - \frac{9\pi}{8}\right) = \frac{2R}{3}\operatorname{ctg}\frac{\pi}{16} = 3{,}352R. \tag{B8}\] При \(\theta = \theta_s\) имеем \(T = 0\), и тогда уравнения (B2) и (B3) приводят к \(v_s^2 = -gs_{min}\sin\theta_s\). Следовательно, скорость \(v_s\) равна \[v_s = \sqrt{-gs_{min}\sin\theta_s} = \sqrt{\frac{2gR}{3}\operatorname{ctg}\frac{\pi}{16}\sin\frac{\pi}{8}} = \sqrt{\frac{4gR}{3}}\cos\frac{\pi}{16} = 1{,}133\sqrt{gR}. \tag{B9}\]

(i) При \(\theta \ge \theta_s\) частица движется как тело, брошенное в поле тяжести. Как показано на рис. B3, она брошена с начальной скоростью \(v_s\) из положения \(P = (x_s, y_s)\) в направлении, составляющем угол \(\phi = (3\pi/2 - \theta_s)\) с осью \(y\).

Скорость \(v_H\) частицы в наивысшей точке её параболической траектории равна \(y\)-компоненте её начальной скорости в момент броска. Поэтому \[v_H = v_s\sin(\theta_s - \pi) = \sqrt{\frac{4gR}{3}}\cos\frac{\pi}{16}\sin\frac{\pi}{8} = 0{,}4334\sqrt{gR}. \tag{B10}\] Горизонтальное расстояние \(H\), которое частица проходит от точки \(P\) до точки максимальной высоты, равно \[H = \frac{v_s^2\sin2(\theta_s - \pi)}{2g} = \frac{v_s^2}{2g}\sin\frac{9\pi}{4} = 0{,}4535R. \tag{B11}\]

Координаты частицы при \(\theta = \theta_s\) равны \[x_s = R\cos\theta_s - s_{min}\sin\theta_s = -R\cos\frac{\pi}{8} + s_{min}\sin\frac{\pi}{8} = 0{,}358R, \tag{B12}\] \[y_s = R\sin\theta_s + s_{min}\cos\theta_s = -R\sin\frac{\pi}{8} - s_{min}\cos\frac{\pi}{8} = -3{,}478R. \tag{B13}\] Очевидно, \(|y_s| > (R + H)\). Поэтому частица действительно может достичь максимальной высоты, не ударившись о поверхность стержня.

Часть C

(j) Пусть груз вначале находится ниже \(O\) на \(h\), как показано на рис. C1.

Когда груз пролетел расстояние \(D\) и остановился, закон сохранения полной механической энергии для системы «частица — груз» даёт \[-Mgh = E' - Mg(h + D), \tag{C1}\] где \(E'\) — полная механическая энергия частицы после остановки груза. Отсюда \[E' = MgD. \tag{C2}\] Пусть \(\Lambda\) — полная длина нити. Её значение при \(\theta = 0\) должно быть таким же, как при любом другом угловом смещении \(\theta\). Поэтому \[\Lambda = L + \frac{\pi}{2}R + h = s + R\left(\theta + \frac{\pi}{2}\right) + (h + D). \tag{C3}\] Учитывая, что \(D = \alpha L\), и вводя \(\ell = L - D\), можно записать \[\ell = L - D = (1 - \alpha)L. \tag{C4}\] Из двух последних уравнений получаем \[s = L - D - R\theta = \ell - R\theta. \tag{C5}\] После остановки груза полная механическая энергия частицы должна сохраняться. Согласно (C2), теперь вместо (B1) имеем уравнение \[E' = MgD = \frac12mv^2 - mg[R(1 - \cos\theta) + s\sin\theta]. \tag{C6}\] Соответственно, квадрат скорости частицы равен \[v^2 = (s\dot\theta)^2 = \frac{2MgD}{m} + 2gR\left[(1 - \cos\theta) + \frac{s}{R}\sin\theta\right]. \tag{C7}\] Поскольку (B3) по-прежнему справедливо, натяжение нити \(T\) определяется из \[-T + mg\sin\theta = m(-s\dot\theta^2). \tag{C8}\] Из двух последних уравнений следует \[T = m(s\dot\theta^2 + g\sin\theta) = \frac{mg}{s}\left[\frac{2M}{m}D + 2R(1 - \cos\theta) + 3s\sin\theta\right] = \frac{2mgR}{s}\left[\frac{MD}{mR} + (1 - \cos\theta) + \frac32\left(\frac{\ell}{R} - \theta\right)\sin\theta\right], \tag{C9}\] где для последнего равенства использовано (C5).

Введём теперь функцию \[f(\theta) = 1 - \cos\theta + \frac32\left(\frac{\ell}{R} - \theta\right)\sin\theta. \tag{C10}\] Поскольку \(\ell = (L - D) \gg R\), можно записать \[f(\theta) \approx 1 + \frac32\frac{\ell}{R}\sin\theta - \cos\theta = 1 + A\sin(\theta - \phi), \tag{C11}\] где введены \[A = \sqrt{1 + \left(\frac32\frac{\ell}{R}\right)^2},\qquad \phi = \operatorname{tg}^{-1}\left(\frac{2R}{3\ell}\right). \tag{C12}\] Из (C11) видно, что минимальное значение \(f(\theta)\) равно \[f_{min} = 1 - A = 1 - \sqrt{1 + \left(\frac32\frac{\ell}{R}\right)^2}. \tag{C13}\] Поскольку при обороте частицы вокруг стержня натяжение \(T\) остаётся неотрицательным, из (C9) получаем неравенство \[\frac{MD}{mR} + f_{min} = \frac{M(L - \ell)}{mR} + 1 - \sqrt{1 + \left(\frac{3\ell}{2R}\right)^2} \ge 0, \tag{C14}\] или \[\left(\frac{ML}{mR}\right) + 1 \ge \left(\frac{M\ell}{mR}\right) + \sqrt{1 + \left(\frac{3\ell}{2R}\right)^2} \approx \left(\frac{M\ell}{mR}\right) + \left(\frac{3\ell}{2R}\right). \tag{C15}\] С учётом (C4) неравенство (C15) можно записать как \[\left(\frac{ML}{mR}\right) + 1 \ge \left(\frac{ML}{mR} + \frac{3L}{2R}\right)(1 - \alpha). \tag{C16}\] Пренебрегая членами порядка \((R/L)\) и выше, из последнего неравенства получаем \[\alpha \ge 1 - \frac{\left(\dfrac{ML}{mR}\right) + 1}{\left(\dfrac{ML}{mR} + \dfrac{3L}{2R}\right)} = \frac{\dfrac{3L}{2R} - 1}{\dfrac{ML}{mR} + \dfrac{3L}{2R}} = \frac{1 - \dfrac{2R}{3L}}{\dfrac{2M}{3m} + 1} \approx \frac{1}{1 + \dfrac{2M}{3m}}. \tag{C17}\] Следовательно, критическое значение отношения \(D/L\) равно \[\alpha_c = \frac{1}{1 + \dfrac{2M}{3m}}. \tag{C18}\]