Нейтроны в гравитационном поле

В знакомом нам мире классической физики идеально упругий мячик, прыгающий на поверхности земли, представляет собой пример системы, бесконечно совершающей периодическое движение. Мячик находится в ловушке: он не может опускаться ниже поверхности земли и подниматься выше некоторой максимальной высоты. Движение мячика в этом состоянии будет вечно оставаться ограниченным: он будет то падать вниз, то снова подпрыгивать вверх. Только сопротивление воздуха или неупругие отражения могли бы изменить характер этого процесса, но в дальнейшем мы ими будем пренебрегать.

Группа физиков из Института Лауэ-Ланженева в Гренобле в 2002 году сообщила об одном эксперименте, касающемся поведения нейтронов в гравитационном поле Земли. В этом эксперименте нейтроны, движущиеся горизонтально, могли падать на горизонтальную кристаллическую поверхность, служащую нейтронным зеркалом, от которой они могли снова и снова упруго отскакивать и подниматься на первоначальную высоту.

Экспериментальная установка, изображенная на рисунке \(F-1\), содержит щель \(W\), нейтронное зеркало \(M\) на высоте \(z=0\), поглотитель нейтронов \(A\) длиной \(L\) на высоте \(z=H\) и детектор нейтронов \(D\). Пучок нейтронов летит с постоянной горизонтальной составляющей скорости \(v_x\) от \(W\) к \(D\) сквозь зазор между поверхностями \(A\) и \(M\). Все нейтроны, которые достигают поверхности \(A\), поглощаются ею и выбывают из эксперимента. Нейтроны, достигающие поверхности \(M\), упруго отражаются. Детектор \(D\) определяет коэффициент прохождения \(N(H)\), т.е. общее число нейтронов, достигших \(D\) за единицу времени.

Нейтроны попадают в зазор, имея широкий спектр положительных и отрицательных значений вертикальной составляющей скорости \(v_z\). Оказавшись в зазоре, они летят между зеркалом и поглотителем, которые ограничивают их движение снизу и сверху соответственно.

A1. В рамках классической модели определите диапазон вертикальных составляющих скорости \(v_z(z)\) нейтронов, которые, влетая в зазор на высоте \(z\), могут достичь детектора \(D\). Предполагается, что \(L\) намного больше любой другой характерной длины в задаче.

A2. В рамках классической модели определите минимальную величину \(L_{min}\), обеспечивающую поглощение поверхностью \(A\) всех нейтронов, у которых вертикальное вертикальные составляющие скорости для каждого значения \(z\) лежат вне указанного выше диапазона. Положите \(v_x=10~м/с\) и \(H=50~мкм\).

Коэффициент порождения нейтронов \(N(H)\) измеряют детектором \(D\). Следует ожидать, что \(N(H)\) монотонно возрастает с увеличением \(H\).

A3. В рамках классической модели определите коэффициент прохождения \(N_c(H)\), полагая, что нейтроны попадают в зазор с вертикальной составляющей скорости \(v_z\) на высоте \(z\), причем все значения \(v_z\) и \(z\) равновероятны. Ответ запишите в предположении, что число нейтронов, влетающих в зазор за единицу времени в единичном интервале вертикальной скорости \(v_z\) и в единичном интервале значений \(z\), остается постоянным и равным \(\rho\).

Экспериментальные результаты, полученные Гренобльской группой, расходятся с рассмотренными выше классическими предсказаниями. Они показывают, что значение \(N(H)\) испытывает резкие скачки, когда \(H\) проходит некоторые критические высоты \(H_1\), \(H_2,\dots\) (рис. 2). Другими словами, эксперимент показывает, что вертикальное движение нейтронов, многократно отражающихся от зеркала, квантуется. На языке, который Бор и Зоммерфельд использовали для расчета энергетических уровней атома водорода, это звучит примерно так: действие \(S\) этих нейтронов вдоль вертикального направления является величиной, кратной постоянной Планка \(h\). Здесь \(S\) задается правилом квантования Бора-Зоммерфельда:

\[S=\int p_z d z =nh, \quad n=1,2,3\dots\]где \(p_z\) — вертикальная составляющая импульса, а интеграл охватывает движение между двумя отражениями. Нейтроны только с такими значениями \(S\) могут находиться в зазоре.

A4. Используя правило квантования Бора-Зоммерфельда, определите максимальные высоты подъема \(H_n\) и соответствующие им энергетические уровни \(E_n\), связанные с вертикальным движением. Представьте численный результат для \(H_1\) в мкм, а для \(E_1\) в эВ.

Изначально однородное на вхоже распределение нейтронов \(\rho\) изменяется во время полета сквозь длинный зазор, превращаясь в ступенчатое распределение, регистрируемое в \(D\) (рис. 2). С этого момента для простоты рассматривается случай длинного зазора с \(H < H_2\). В рамках классической модели все нейтроны с энергиями в интервале, рассмотренном в пункте A1, могли пройти сквозь такой зазор. В рамках квантово-механической модели это могут сделать только нейтроны с энергией \(E_1\). Согласно принципу неопределенности Гейзенберга для энергии и времени, это перераспределение требует некоторого минимального времени полета. Неопределенность энергии вертикального движения будет существенной, если длина полости мала. Это явление приводит к уширению энергетических уровней.

A5. Оцените минимальное время полета \(t_{min}\) и минимальную длину \(L_{min}\) полости, необходимые для наблюдения первого скачка числа регистрируемых детектором нейтронов. Примите \(v_x=10~м/с\).