Преобразования в науке и технике, произошедшие в XIX столетии, привели к острой потребности во всемирно признанных стандартах электрических величин. Считалось, что новые абсолютные единицы должны основываться только на эталонах длины, массы и времени. С 1861 по 1912 год была проведена интенсивная экспериментальная работа по нахождению значений этих единиц. Мы предлагаем здесь три исследования этой проблемы. Определение ома по Кельвину Круговая короткозамкнутая плоская катушка из \(N\) витков радиусом \(a\) и общим сопротивлением \(R\) вращается с постоянной угловой скоростью \(\omega\) вокруг вертикального диаметра в горизонтальном магнитом поле \(\vec{B}_0 = B_0\vec{i}\). A1. Подсчитайте электродвижущую силу \(\mathcal E\), индуцированную в катушке, а также среднюю мощность \(\langle P \rangle\), необходимую для поддержания движения катушки. Самоиндукцией катушки пренебречь. Маленькая магнитная стрелка помещена в центр катушки, как показано на рисунке 1. Она может медленно вращаться в

A1: \[\mathcal E=-\dot\Phi=\pi a^2NB_0\omega \sin\omega t\] \[\left\langle P\right\rangle=\frac{\pi^2a^4N^2B_0^2\omega^2}{2R}\] ; A2: \[R=\frac{\mu_0 N^2\pi a\omega}{4\operatorname{tg}\theta}\] ; B1: \[\mathcal E=\mathcal E_d+\mathcal E_{D'}=N\frac{\mu_0b^2\omega I}{2a}\] ; B2: \[R=N\frac{\mu_0b^2\omega}{2a}\] ; С1: \[F=\mu_0aI^2/h\] ; С2: \[I=\sqrt{\frac{mghx}{4\mu_0ad}}\]

Абсолютные измерения электрических величин — IPhO 2004/05, 11 кл., задача 2

Абсолютные измерения электрических величин
IPhO 2004/05, 11 кл.
7/10
Преобразования в науке и технике, произошедшие в XIX столетии, привели к острой потребности во всемирно признанных стандартах электрических величин. Считалось, что новые абсолютные единицы должны основываться только на эталонах длины, массы и времени. С 1861 по 1912 год была проведена интенсивная экспериментальная работа по нахождению значений этих единиц. Мы предлагаем здесь три исследования этой проблемы.

Определение ома по Кельвину

Круговая короткозамкнутая плоская катушка из \(N\) витков радиусом \(a\) и общим сопротивлением \(R\) вращается с постоянной угловой скоростью \(\omega\) вокруг вертикального диаметра в горизонтальном магнитом поле \(\vec{B}_0 = B_0\vec{i}\).

A1. Подсчитайте электродвижущую силу \(\mathcal E\), индуцированную в катушке, а также среднюю мощность \(\langle P \rangle\), необходимую для поддержания движения катушки. Самоиндукцией катушки пренебречь.

Маленькая магнитная стрелка помещена в центр катушки, как показано на рисунке 1. Она может медленно вращаться в горизонтальной плоскости вокруг оси \(Z\), но не может поспевать за быстрым вращением катушки. Как только будет достигнут стационарный режим, стрелка установится в положении, составляющем малый угол \(\theta\) c \(\vec{B}_0\).

A2. Выразите сопротивление \(R\) катушки через угол \(\theta\) и другие заданные параметры системы.

Лорд Кельвин применил этот метод в 1860-х годах для установления абсолютного стандарта для ома. Чтобы избавиться от вращающейся катушки, Лоренц применил использованный ранее лордом Рэлеем и мисс Зидгвик альтернативный метод, который исследуется в следующей части задачи.

Определение ома по Рэлею и Зидгвик

Экспериментальная установка, изображенная на рисунке 2, состоит из двух одинаковых металлических дисков \(D\) и \(D'\) радиусом \(b\), насаженных на (проводящий) вал \(SS'\). Мотор вращает вал с угловой скоростью \(\omega\), которая может изменяться. Две одинаковые катушки \(C\) и \(C'\) (радиусом \(a\) c \(N\) витками каждая) окружают диски. Они соединены таким образом, что электрический ток \(I\) течет через них в противоположных направлениях. Прибор служит для измерения сопротивления \(R\).

B1. Допустим, что ток \(I\), протекающий через катушки \(C\) и \(C'\), создает однородное магнитное поле вокруг \(D\) и \(D'\), величину которого можно принять равной полю в центре катушек. Найдите электродвижущую силу \(E\), индуцированную между краями дисков 1 и 4, предполагая, что расстояние между катушками значительно превышает радиус катушек и что \(a \gg b\).

Пусть теперь диски подсоединены к электрической цепи щеточными контактами, касающимися краев дисков 1 и 4. Гальванометр \(G\) регистрирует силу тока, протекающего по цепи 1-2-3-4. Сопротивление \(R\) измеряется, когда гальванометр \(G\) показывает ноль.

B2. Выразите сопротивление \(R\) через физические параметры системы.

Определение ампера

Пропускание тока по двум проводникам и измерение силы, действующей между ними, позволяет получить абсолютное определение силы тока. Принцип действия токов весов «токовых весов», изобретенных лордом Кельвином в 1882 году, основан на этом методе. Весы состоят из шести одинаковых одиночных витков радиусом \(a\), соединенных последовательно. Как показано на рисунке 3, неподвижные витки \(C_1, C_3, C_4\) и \(C_6\) расположены в двух горизонтальных плоскостях, которые разделены малым расстоянием \(2h\). Катушки \(C_2\) и \(C_5\) подвешены к плечам весов длиной \(d\) и в состоянии равновесия находятся на одинаковых расстояниях от обеих плоскостей.

Ток \(I\) течет через различные катушки в таких направлениях, что сила со стороны магнитного поля, действующая на \(C_2\), направлена вверх, в то время как сила, действующая на \(C_5\), направлена вниз. Чтобы восстановить равновесие весов при протекании тока через цепь, требуется расположить массу \(m\) на расстоянии \(x\) от точки опоры \(O\).

С1. Найдите силу \(F\), действующую на \(C_2\) благодаря магнитному взаимодействую с \(C_1\). Для простоты считайте, что сила на единицу длины такая же, как при взаимодействии двух длинных линейных проводников, по которым текут параллельные токи.

С2. Сила тока измеряется, когда весы находятся в равновесии. Выразите ее значение \(I\) через физические параметры системы, предполагая, что размеры установки таковы, что можно пренебречь действием левых катушек на правые и наоборот.

Пусть \(M\) — масса всей подвешенной системы (за исключением \(m\)), \(G\) — ее центр масс, а \(l\) — расстояние \(OG\).

С3. Равновесие весов оказывается устойчивым по отношению к малым отклонением \(\delta z\) и \(-\delta z\) витков \(C_2\) и \(C_5\) по высоте. Найдите максимальное значение \(\delta z_{max}\), при котором весы все еще возвращаются в положение равновесие, когда их отпускают.
▶Показать разборСкрыть разбор
Ответ
A1: \[\mathcal E=-\dot\Phi=\pi a^2NB_0\omega \sin\omega t\] \[\left\langle P\right\rangle=\frac{\pi^2a^4N^2B_0^2\omega^2}{2R}\]; A2: \[R=\frac{\mu_0 N^2\pi a\omega}{4\operatorname{tg}\theta}\]; B1: \[\mathcal E=\mathcal E_d+\mathcal E_{D'}=N\frac{\mu_0b^2\omega I}{2a}\]; B2: \[R=N\frac{\mu_0b^2\omega}{2a}\]; С1: \[F=\mu_0aI^2/h\]; С2: \[I=\sqrt{\frac{mghx}{4\mu_0ad}}\]
Решение
A1. Через время \(t\) нормаль к катушке образует угол \(\omega t\) с магнитным полем. Поток через катушку при этом будет равен \(\Phi=NB_0S\cos\omega t=\pi a^2NB_0\cos\omega t\). За счёт этого индуцируется ЭДС

Ответ:

\[\mathcal E=-\dot\Phi=\pi a^2NB_0\omega \sin\omega t\]

Тепловая мощность равна \(P=\mathcal E^2/R\), откуда

Ответ:

\[\left\langle P\right\rangle=\frac{\pi^2a^4N^2B_0^2\omega^2}{2R}\]

A2. Суммарное поле в центре катушки \(\vec B=\vec B_0+\vec B_i\), где \(\vec B_i =B_i(\vec i\cos\omega t+\vec j\sin\omega t)\) – поле, индуцированное током в катушке. Здесь \(B_i=\frac{\mu_0N}{2a}\frac{\mathcal E}R\). Средние значения компонент поля:\[\bar B_x=\frac{\mu_0 N^2\pi aB_0\omega}{2R}\overline{\sin\omega t\cos\omega t}=0,\quad \bar B_y=\frac{\mu_0 N^2\pi aB_0\omega}{2R}\overline{\sin^2\omega t}=\frac{\mu_0 N^2\pi aB_0\omega}{4R}.\]Таким образом, стрелка повернётся на угол\[\operatorname{tg}\theta=\frac{\mu_0 N^2\pi a\omega}{4R}\implies\]

Ответ:

\[R=\frac{\mu_0 N^2\pi a\omega}{4\operatorname{tg}\theta}\]

B1. Сила, действующая на пробный заряд в диске, радиальна и равна \(qvB=q\omega rB\), где магнитное поле \(B=N\mu_0I/2a\). Это создаёт ЭДС \(\mathcal E_D=\mathcal E_{D'}=B\omega\int_0^br~\mathrm dr=\frac12B\omega b^2\). Итого:

Ответ:

\[\mathcal E=\mathcal E_d+\mathcal E_{D'}=N\frac{\mu_0b^2\omega I}{2a}\]

B2. Показания гальванометра обнулятся (\(I_G=0\)), когда \(\mathcal E=IR\implies\)

Ответ:

\[R=N\frac{\mu_0b^2\omega}{2a}\]

С1. Сила, действующая на единицу длины одного из параллельных бесконечно длинных проводов, равна \(f=\mu_0I_1I_2/2\pi h\), где \(h\) – расстояние между проводами. Для рассматриваемых в задаче колец:

Ответ:

\[F=\mu_0aI^2/h\]

С2. В равновесии \(mgx=4Fd\), откуда \(mgx=4\mu_0adI^2/h\implies\)

Ответ:

\[I=\sqrt{\frac{mghx}{4\mu_0ad}}\]

С3. Весы вернутся в положение равновесие, если при отклонении на небольшой угол \(\delta\varphi\) момент силы тяжести превысит момент силы Ампера:\[M g l \sin \delta \varphi+m g x \cos \delta \varphi>2 \mu_0 a I^2\left(\frac{1}{h-\delta z}+\frac{1}{h+\delta z}\right) d \cos \delta \varphi\]Разложим правую часть до второго порядка:

\[M g l \sin \delta \varphi+m g x \cos \delta \varphi>\frac{4 \mu_0 a d I^2}{h}\left(1+\frac{\delta z^2}{h^2}\right) \cos \delta \varphi\]Слагаемые нулевого порядка сокращаются как следствие предыдущего пункта, тогда останется:

\[M g l \sin \delta \varphi>m g x \frac{\delta z^2}{h^2} \cos \delta \varphi\]Для малых углом \(\operatorname{tg} \delta \varphi \approx \sin \delta \varphi=\frac{\delta z}{d}\), поэтому

\[\delta z<\frac{M l h^2}{m x d} \implies\]

Ответ:

\[\delta z_{\max }=\frac{M l h^2}{m x d}\]

Перевод: pho.rs.
Вся олимпиада на сайте
в вариантСтраница задачи Ошибка в задаче?

Абсолютные измерения электрических величин

Абсолютные измерения электрических величин

Похожие задачи