Счётчик Гейгера

Попадающие в камеру \(\alpha\)-частицы ионизируют молекулы газа. Возникшие ионы оседают на электродах, меняя их первоначальный заряд. Затем заряд осевших ионов стекает через резистор \(R\), и снова устанавливается равновесие. Предположим, что время оседания зарядов на электродах много меньше времени, в течение которого избыточный заряд рассасывается. Тогда задача сводится, во-первых, к нахождению заряда \(Q\), обусловленного осевшими ионами, и, во-вторых, к определению напряжения на резисторе \(R\) как функции времени \(U = U(t)\).

Число пар ионов, генерированных попавшей в камеру частицей, равно \(N = E/E_i\). Тогда возникший на электродах вследствие ионизации избыточный заряд определяется формулой \[Q_0 = e\cdot N = e\dfrac{E}{E_i},\] где \(e\) — элементарный заряд. Восстановление равновесия при протекании через резистор \(R\) тока \(I\) описывается соотношениями \[I = -\dfrac{dQ}{dt},\quad V = -IR + \dfrac{Q_e + Q}{C},\quad U = IR.\] Здесь \(V\) — напряжение источника (рис. 157), \(Q_e = CV\) — равновесный заряд конденсатора, \(Q\) — избыточный заряд в момент времени \(t\), \(U\) — напряжение на резисторе. Из этих соотношений следует, что \[\dfrac{dU}{U} = -\dfrac{dt}{RC}.\] При интегрировании полученного уравнения нужно учесть, что в начальный момент времени \(Q = Q_0 = eE/E_i\). Поэтому в этот момент \[U = \dfrac{Q_0}{C} = \dfrac{eE}{CE_i} = 5{,}4\cdot10^{-4}\text{ В}.\] С учётом этого после интегрирования получаем \[U = \dfrac{eE}{CE_i}e^{-\frac{t}{RC}}. \qquad (211)\] Видно, что напряжение на конденсаторе существенно убывает в течение времени \(RC\). Поскольку в условии сказано, что \(RC\) много больше времени оседания ионов на электродах, сделанное в процессе решения предположение справедливо.

Счётчики Гейгера, в которых регистрируются импульсы, вызванные отдельными частицами, называют импульсными ионизационными камерами. Величина импульса, как видно из формулы (211), позволяет измерить энергию частицы \(E\). Параметр \(RC\) характеризует разрешающую способность метода, то есть возможность регистрировать каждую частицу в отдельности. Как следует из решения, \(RC\) должно быть много больше времени, в течение которого ионы достигают электродов. Это и ограничивает разрешающую способность импульсной ионизационной камеры. Недостатком метода является его малая чувствительность, обусловленная малостью величины \(U\). В данной задаче оказалось, что \(U \lesssim 10^{-4}\) В. Можно существенно увеличить чувствительность метода, если повысить напряжение источника \(V\) до такой величины, при которой возникает вторичная ионизация, вызванная столкновением ионов и электронов с молекулами газа. Эта идея реализуется в так называемых счётчиках Гейгера–Мюллера. В них на электроды подаётся напряжение, близкое к пробивному. Ионизирующие элементарные частицы инициируют образование лавины ионов. Возникает самостоятельный разряд, который гасится специальными радиотехническими средствами. Счётчики Гейгера–Мюллера обладают большой чувствительностью, но не позволяют измерять энергии регистрируемых частиц. Какое напряжение следует подавать на счётчик Гейгера–Мюллера? Ответы на этот и другие вопросы содержатся в пункте два задачи.

В этом пункте требуется найти распределение напряжённости и потенциала электрического поля внутри камеры счётчика Гейгера. Подобные задачи электростатики удобно решать с помощью теоремы Гаусса. В качестве замкнутой поверхности, через которую следует вычислять поток напряжённости поля, возьмём поверхность соосного с электродами цилиндра радиусом \(r\), расположенного между катодом и анодом. Длина цилиндра равна \(l\). Напряжённость поля направлена в каждой точке от оси цилиндра. Заряд, заключённый внутри выбранной поверхности, равен \(\lambda l\). На основании теоремы Гаусса запишем \[E(r)2\pi rl = \dfrac{\lambda l}{\varepsilon_0},\] где \(\varepsilon_0\) — электрическая постоянная, \(E(r)\) — модуль напряжённости поля в точках, удалённых от оси на расстояние \(r\). Эту величину и требуется найти: \[E(r) = \dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0r}. \qquad (212)\] Для нахождения \(\varphi(r)\) воспользуемся формулой, связывающей потенциал с напряжённостью поля: \[-\dfrac{d\varphi}{dr} = E(r) = \dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0r}.\] Проинтегрируем это уравнение, положив потенциал катода равным нулю: \[\varphi = \dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln\dfrac{R_c}{r}. \qquad (213)\] Это ещё одно искомое в задаче соотношение.

Для нахождения пробивного напряжения заметим, что пробой может произойти там, где напряжённость поля достигает критического значения \(E_b\). Из формулы (212) видно, что поле максимально вблизи анода, то есть при \(r = R_a\). При \(\lambda = \lambda_b\) оно достигает пробивного значения, для которого \[E_b = \dfrac{\lambda_b}{2\pi\varepsilon_0R_a}. \qquad (214)\] Подставляя величины, соответствующие наступлению пробоя, в формулу (213), получим \[\varphi_b = \dfrac{\lambda_b}{2\pi\varepsilon_0}\ln\dfrac{R_c}{R_a} = E_bR_a\ln\dfrac{R_c}{R_a} \approx 11\text{ кВ}.\] Таким образом, выясняется, что зарождение ионной лавины, ведущей к пробою, возможно вблизи анода. Чтобы напряжённость поля здесь была близка к пробивному значению, напряжение на счётчике должно быть тем меньше, чем меньше радиус анода. Вот почему анод в счётчиках Гейгера–Мюллера делают в виде тонкой нити.

В отличие от предыдущих пунктов, в пункте 3 анализируется стационарное состояние счётчика, при котором число частиц, генерируемых в любом объёме внутри камеры, равно потоку этих частиц, покидающих данный объём. Счётчики, в которых реализуется такой режим, называют ионизационной камерой непрерывного действия.

Ввиду осевой симметрии конструкции счётчика удобно рассмотреть объём, заключённый между анодом и соосной с ним цилиндрической поверхностью радиусом \(r \leqslant R_c\). Число положительных ионов, генерируемых в этом объёме в единицу времени, равно \[N = \Gamma\pi(r^2 - R_a^2)l, \qquad (215)\] где \(l\) — длина выбранной цилиндрической поверхности. Поток ионов, вытекающих из этого объёма в единицу времени, определяется по формуле \(\Phi(r) = n(r)v(r)2\pi rl\), где \(n(r)\) — число положительных ионов в единице объёма на расстоянии \(r\) от оси цилиндра, \(v(r)\) — скорость их движения в этом месте. В соответствии с условием \(v(r) = \mu E(r)\), а напряжённость \(E(r)\) определяется формулой (212). После подстановки этих значений получим \[\Phi(r) = n(r)\cdot\mu\dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0r}\cdot2\pi rl = n(r)\dfrac{\lambda\mu}{\varepsilon_0}l.\] Именно эта величина в стационарном состоянии должна быть равна числу генерируемых ежесекундно в выделенном объёме частиц (215). Поэтому \[n(r)\dfrac{\lambda\mu}{\varepsilon_0}l = \Gamma\pi(r^2 - R_a^2)l,\quad\text{или}\quad n(r) = \dfrac{\pi\varepsilon_0\Gamma}{\mu\lambda}(r^2 - R_a^2).\] Таким образом, концентрация положительных ионов стремится к нулю вблизи анода и достигает наибольшего значения вблизи катода.