Конечная цепочка

Пусть \(I\) — искомый ток через резистор \(R_4\), а \(I_0\) — ток, текущий через источник \(\mathcal{E}\) (рис. 156). Так как \(R_4 + R_3 = R_2\), токи на параллельно соединённых участках \(C\)–\(R_4\)–\(D\) и \(C\)–\(R_2\)–\(D\) одинаковы. Вследствие этого ток, покидающий узел \(D\), равен \(2I\).

Сопротивления участков \(E\)–\(R_2\)–\(F\) и \(E\)–\(C\)–\(D\)–\(F\) также одинаковы, поэтому ток, покидающий узел \(F\), вдвое больше тока \(2I\), текущего по участку \(D\)–\(F\). Аналогичная ситуация повторяется и далее: при приближении от \(R_4\) к источнику \(\mathcal{E}\) ток удваивается после каждого из 17 звеньев цепочки. Таким образом, \[I_0 = 2^{17}I. \qquad (206)\] Сопротивление всей цепи, подключённой последовательно к \(R_1\), равно \(R_2/2\). По закону Ома \[I_0 = \dfrac{\mathcal{E}}{R_1 + \dfrac{R_2}{2}}. \qquad (207)\] Из формул (206) и (207) получаем \[I = \dfrac{I_0}{2^{17}} = \dfrac{\mathcal{E}}{2^{17}\left(R_1 + \dfrac{R_2}{2}\right)} = 1{,}3\cdot10^{-5}\text{ А}.\] Во втором пункте обозначим через \(R\) сопротивление всего правого участка цепи, подключённого к точкам \(A\) и \(B\) (рис. 156). Для эквивалентного источника это сопротивление нагрузки. По закону Ома ток \(I\) нагрузки вычисляется по формуле \[I = \dfrac{\mathcal{E}_e}{R + R_e}. \qquad (208)\] Получим формулу для тока нагрузки без модели эквивалентного источника. К реальному источнику \(\mathcal{E}\) последовательно подсоединены резистор \(R_1\) и параллельно соединённые участки, сопротивления которых равны \(R_2\) и \(R_3 + R\). По правилам Киргофа \[\mathcal{E} = I_0R_1 + I(R_3 + R),\] \[\mathcal{E} = I_0R_1 + (I_0 - I)R_2.\] Исключим из этой пары уравнений ток источника \(I_0\): \[I = \dfrac{\dfrac{\mathcal{E}R_2}{R_1 + R_2}}{R + R_3 + \dfrac{R_1R_2}{R_1 + R_2}}. \qquad (209)\] Сравнивая формулы (208) и (209), видим, что параметры эквивалентного источника таковы: \[\mathcal{E}_e = \dfrac{\mathcal{E}R_2}{R_1 + R_2},\qquad R_e = R_3 + \dfrac{R_1R_2}{R_1 + R_2}. \qquad (210)\] Решение третьей части задачи существенно упрощается использованием рассмотренной в предыдущем пункте модели эквивалентного источника. Участок цепи, включающий источник \(\mathcal{E}\), резистор \(R_1\) и первое из 17 звеньев \(R_2\)–\(R_3\), заменяем эквивалентным источником. Параметры его находим по формулам (210): \[\mathcal{E}_e = \dfrac{2}{3}\mathcal{E},\qquad R_e = R_1.\] Введение рассмотренного эквивалентного источника приводит к следующим изменениям анализируемой цепи: ЭДС источника умножается на 2/3, резистор \(R_1\) можно считать его внутренним сопротивлением. Зато подключённая к источнику цепочка резисторов уменьшается на одно звено. После 17 таких процедур получаем простую схему: источник, ЭДС которого \((2/3)^{17}\mathcal{E}\), последовательно соединён с резисторами \(R_1\) и \(R_4\). По закону Ома ток \(I_4\) через резистор \(R_4\) равен \[I_4 = \dfrac{(2/3)^{17}\mathcal{E}}{R_1 + R_4} = 5{,}1\cdot10^{-4}\text{ А}.\]