Шестиугольник

На рис. 154 представлена схема заданной в условии цепи. Сопротивление каждого из резисторов \(R\). Следует найти сопротивление между гвоздями \(A\) и \(B\), к которым подаётся некоторое напряжение. Отыскать участки, соединённые последовательно или параллельно, не удаётся. Попытаемся использовать симметрию схемы. Не позволит ли она упростить задачу?

Гвозди \(A\) и \(B\) непосредственно подсоединяются к источнику напряжения. Остальные вершины шестиугольника 1, 2, 3, 4 находятся в иных, но в одинаковых для каждой из них условиях. Все они подсоединены через резистор \(R\) к точкам \(A\) и \(B\), а также к каждому из остальных гвоздей. Поэтому нет физической причины, вследствие которой потенциалы гвоздей 1, 2, 3, 4 были бы различны. Таким образом, из соображений физической симметрии приходим к заключению о равенстве потенциалов этих точек. Поэтому можно перейти к эквивалентной схеме, изображённой на рис. 155. На этой схеме легко выделить последовательные и параллельные участки и найти искомое сопротивление \(R_x\): \[R_x = \dfrac{R}{3}.\]

Можно было и изолировать друг от друга точки 1, 2, 3, 4. Получилась бы схема, отличающаяся от той, что изображена на рис. 155, отсутствием соединений этих точек. Однако равенство потенциалов точек 1, 2, 3, 4 в новой схеме не будет нарушено. Поэтому и она эквивалентна исходной и приводит к прежнему ответу.