Проволочная скобка

На рис. 98 показан момент времени, когда нить ещё не порвалась, но вот-вот порвётся.

В этот момент расстояние от груза до линии, вдоль которой перемещаются концы нити, равно \(x\). Символом \(u\) обозначена скорость груза в этот момент времени. Проекции скорости груза и конца одного из отрезков (любого) нити на сам этот отрезок должны быть одинаковыми, так как нить нерастяжима. Таким образом, \[u = v\dfrac{\sqrt{L^2 - x^2}}{x} \approx v\dfrac{L}{x}. \qquad (92)\] Из заданного в условии соотношения \(F \gg mg\) можно предположить, что угол, который составляют нити в момент разрыва, будет близок к \(180^\circ\). Это означает, что скорость груза в этот момент будет примерно равна \(u = vL/x\).

Для нахождения \(x\) в момент разрыва нити запишем второй закон Ньютона: \[m\dfrac{du}{dt} = 2F\dfrac{x}{L} - mg. \qquad (93)\] Естественно предположить, что в момент разрыва первое слагаемое в правой части равенства (93) играет определяющую роль, то есть \[2F\dfrac{x}{L} \gg mg. \qquad (94)\] Будем решать задачу в этом приближении. Из формулы (92) найдём \[\dfrac{du}{dt} = v\dfrac{L}{x^2}u = \dfrac{v^2L^2}{x^3}. \qquad (95)\] Подставляя выражения (95) и (94) в формулу (93), получим \[x = \left(\dfrac{v^2L^3m}{2F}\right)^{1/4}. \qquad (96)\] Подсчитав численное значение \(x\) по формуле (96), убеждаемся в справедливости сделанного предположения (94): \[2F\dfrac{x}{L} = 1\text{ Н} \gg 0{,}01\text{ Н} = mg.\] Максимальную высоту подъёма скобки теперь нетрудно определить из закона сохранения энергии, используя формулы (92) и (96): \[H = \dfrac{u^2}{2g} = \dfrac{v}{2g}\sqrt{\dfrac{2FL}{m}} \approx 5\text{ м}.\]