Нить на наклонном скользком цилиндре

Рассмотрим вертикальную плоскость, параллельную свободно висящей части нити.

Сдвинем эту плоскость до касания с точкой, где цилиндр и нить впервые встречаются. Назовём эту точку \(Q\); здесь мы разворачиваем половину цилиндра в прямоугольник шириной \(\pi R\). Угол между \(PQ\) и шириной прямоугольника равен \(\alpha\), так что \[PQ = \frac{\pi R}{2\cos\alpha},\] и потому \[\boxed{\ell = L-\frac{\pi R}{2\cos\alpha}}.\] Когда груз колеблется, след нити на развёрнутом цилиндре по-прежнему остаётся прямым. Поэтому длина висящей нити (а значит, и потенциальная энергия груза) ни в каком колебательном состоянии не зависит от того, действительно ли поверхность цилиндрическая или она развёрнута в плоскую вертикальную поверхность. Поэтому период колебаний по-прежнему равен \[\boxed{T = 2\pi\sqrt{L/g}}.\]