Шестигранный карандаш на наклонной

Считаем, что условие \(\mu>\tg\alpha\) выполнено, так что ни при каком угле \(\varphi\) карандаш не соскользнёт вниз. Однако он может покатиться. Чтобы тело начало катиться, сила тяжести должна образовывать вертикальную линию через ребро. Рассмотрим сначала простой случай \(\varphi = 0\).

Разложим силу тяжести на две составляющие. Одна перпендикулярна плоскости, \(mg\cos\alpha\), другая лежит в плоскости и перпендикулярна карандашу, \(mg\sin\alpha\). Чтобы качение началось, сумма этих двух составляющих должна пройти над ребром, что выполняется, когда \[\tg30^\circ = \frac{mg_\perp}{mg_{\text{норм}}} = \frac{mg\sin\alpha}{mg\cos\alpha}.\] Когда \(\varphi\ne0\), действуем аналогично, но карандаш будет катиться уже не прямо вниз по склону, а под углом.

Разложим силу тяжести на три составляющие. Одна перпендикулярна плоскости, \(mg\cos\alpha\); вторая лежит в плоскости и перпендикулярна карандашу, \(mg\sin\alpha\cos\varphi\); третья лежит в плоскости и параллельна карандашу, \(mg\sin\alpha\sin\varphi\). Заметим, что параллельная составляющая не влияет на то, покатится карандаш или нет. Снова сумма первых двух составляющих должна пройти над ребром, что выполняется, когда \[\tg30^\circ = \frac{mg\sin\alpha\cos\varphi}{mg\cos\alpha} \ \Longrightarrow\ \boxed{\tg\alpha\cos\varphi<\tg30^\circ}.\] Эта задача встречается в книге С. С. Кротова «Задачи по физике».