Конус

Площадь основания конуса \(S = \pi R^2\), его объём \(V = SH/3 = \pi R^2H/3\), сила Архимеда, действующая на конус, \(F_A = \rho gV = \rho g\pi R^2H/3\).

По своей природе сила Архимеда равна векторной сумме сил давления жидкости на поверхность помещённого в неё тела, то есть в нашем случае \[\vec F_A = \vec F + \vec F_0, \qquad (91)\] где \(F\) — искомая сила, а \(F_0\) — сила давления жидкости на основание конуса.

В силу симметрии основания и однородности поля тяжести среднее давление \(P_{\text{ср}}\) на основание равно давлению на уровне центра основания, то есть \(P_{\text{ср}} = P_0 + \rho gL\), поэтому \(F_0 = P_{\text{ср}}S = (P_0 + \rho gL)\pi R^2\).

Сила \(F_A\) направлена вертикально вверх, а \(F_0\) — перпендикулярно основанию конуса, то есть вдоль его оси, под углом \(\alpha\) к горизонту. Применив теорему косинусов к треугольнику (рис. 97), составленному из векторов сил согласно уравнению (91), получим \[F^2 = F_A^2 + F_0^2 - 2F_AF_0\cos\left(\dfrac{\pi}{2} + \alpha\right),\] откуда \[F = \sqrt{F_A^2 + F_0^2 + 2F_AF_0\sin\alpha} =\] \[= \pi R^2\sqrt{\dfrac{1}{9}\rho^2g^2H^2 + (P_0 + \rho gL)^2 + \dfrac{2}{3}\rho gH(P_0 + \rho gL)\sin\alpha}.\]

Примечание. Обратите внимание на то, что сила давления жидкости на часть поверхности погружённого в неё тела зависит от внешнего давления \(P_0\) и глубины погружения \(L\), а при суммировании векторов сил давления по всей поверхности получается сила Архимеда, которая уже не зависит от \(P_0\) и \(L\).