Вода в перевёрнутой полусфере

Question

Сосуд в форме цилиндра, высота которого равна его радиусу $R$, а полость представляет собой полусферу, до краёв наполнен водой, перевёрнут вверх дном и поставлен на горизонтальную поверхность. Радиус полусферической полости тоже равен $R$, а в дне сосуда есть маленькое отверстие. Из-под краёв свободно лежащего сосуда часть воды вытекает. Какой высоты будет оставшийся слой воды, если масса сосуда $m$, а плотность воды $\rho$? При необходимости воспользуйтесь формулой объёма шарового сегмента (см. рис.): $V = \pi H^2(R-H/3)$.

Accepted Answer

Аналогично задаче 16 мы хотим, чтобы $$\rho gh(\pi R^2) = mg+V\rho g,$$ только на этот раз $$\begin{align*} V &= \tfrac23\pi R^3-\pi H^2\Bigl(R-\frac H3\Bigr) = \tfrac23\pi R^3-\pi(R-h)^2\Bigl(\frac{2R+h}3\Bigr)\ &= \tfrac23\pi R^3-\tfrac\pi3(2R^3-3R^2h+h^3) = \pi R^2h-\tfrac\pi3h^3. \end{align*}$$ Подставляя это, получаем $$\rho gh(\pi R^2) = mg+\pi R^2h\rho g-\tfrac\pi3h^3\rho g,$$ т. е. $mg = \frac\pi3h^3\rho g$, откуда $$\boxed{h = \sqrt[3]{\frac{3m}{\pi\rho}}}.$$ Проверим: подста

Вода в перевёрнутой полусфере

Похожие задачи