Цунами

Пусть цунами перемещается вдоль оси \(x\) со скоростью \(v\). Рассмотрим движение частиц воды в системе отсчёта, связанной с горбом волны (рис. 99).

Вдали от горба в сечении 1 вода относительно этой системы отсчёта движется со скоростью \(v\) в направлении, противоположном оси \(x\). В области горба горизонтальная составляющая скорости частиц воды равна \(u\). Вследствие несжимаемости жидкости массы воды, проходящей за время \(\Delta t\) через сечения 1 и 2, равны: \[\rho hbv\Delta t = \rho h_1bu\Delta t,\] где \(\rho\) — плотность воды, \(b\) — толщина рассматриваемого слоя воды в направлении, перпендикулярном к плоскости рисунка. Из полученного соотношения следует, что \[u = v\dfrac{h}{h_1}. \qquad (97)\] Применим к воде рассматриваемого слоя, которая заключена в объёме между сечениями 1 и 2, закон изменения импульса за время \(\Delta t\): \[\rho vbhv\Delta t - \rho ubhv\Delta t = \dfrac{1}{2}(-\rho gh^2b + \rho gh_1^2b)\Delta t,\quad\text{или}\quad hv(v - u) = \dfrac{g}{2}(h_1 - h)(h + h_1),\] где \(g\) — ускорение свободного падения, а множитель \(1/2\) учитывает линейное уменьшение давления с высотой.

Подставляя в последнее выражение соотношение (97) и учитывая, что высота волны существенно меньше глубины водоёма, то есть \(h + h_1 \approx 2h\), получим \[v \approx \sqrt{gh}.\] Этот результат ограничен требованием малости глубины \(h\) по сравнению с длиной волны \(\lambda\). В противном случае в волновое движение вовлекается только слой воды глубиной порядка \(\lambda\). Тогда скорость волны выражается приближённой формулой \[v \sim \sqrt{g\lambda},\qquad\text{или, точнее,}\qquad v = \sqrt{g\dfrac{\lambda}{2\pi}}.\] Скорость волн, о которых идёт речь во втором пункте, уменьшается при приближении к берегу в соответствии с полученным выше результатом: \[v(x) = \sqrt{gx\operatorname{tg}\alpha}, \qquad (98)\] где \(\alpha\) — угол наклона к горизонту морского дна. Эта зависимость приводит к искривлению линии (волнового луча), вдоль которой распространяется волна. Изменение направления волнового луча определяется соотношением, которое чаще всего используется для оптических волн: \[\dfrac{\sin\varphi_1}{\sin\varphi_2} = \dfrac{v_1}{v_2}, \qquad (99)\] где \(\varphi_1\) и \(\varphi_2\) — углы падения и преломления луча на границе сред, скорости распространения волн в которых равны соответственно \(v_1\) и \(v_2\). Соотношение (99) можно переписать следующим образом: \[\dfrac{\sin\varphi_1}{v_1} = \dfrac{\sin\varphi_2}{v_2} = \dfrac{\sin\varphi}{v} = \text{const}. \qquad (100)\] В таком виде формула (100) применима и к непрерывному изменению угла \(\varphi\) (искривлению луча), если скорость волны плавно изменяется от точки к точке.

Для определения положения точки на поверхности моря введём декартову систему координат так, чтобы ось \(y\) была направлена вдоль берега, а ось \(x\) проходила через точку с координатой \(x = L\), в которой произошёл взрыв, вызвавший волны. Рассмотрим искривление луча, попадающего в точку берега с координатой \(y_m\), наиболее удалённую от места взрыва (рис. 100). Из этого рисунка видно, что

\[\operatorname{tg}\varphi = -\dfrac{dy}{dx}. \qquad (101)\] В соотношение (99) подставим выражение (98) и учтём, что при \(x \to L\) угол падения \(\varphi\) стремится к \(\pi/2\): \[\dfrac{\sin\varphi}{\sqrt{gx\operatorname{tg}\alpha}} = \dfrac{1}{\sqrt{gL\operatorname{tg}\alpha}},\] откуда \[\sin\varphi = \sqrt{\dfrac{x}{L}}.\] Последнее выражение позволяет переписать уравнение (101) в виде \[-\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{\sin\varphi}{\sqrt{1 - \sin^2\varphi}} = \sqrt{\dfrac{x}{L - x}}.\] Остаётся проинтегрировать это уравнение: \[y_m = -\int\limits_L^0\sqrt{\dfrac{x}{L - x}}\,dx.\] Используя подстановку \(x = L\sin^2\beta\), получим \[y_m = L\int\limits_0^{\pi/2}\dfrac{\sin\beta}{\cos\beta}\,2\cos\beta\sin\beta\,d\beta = L\int\limits_0^{\pi/2}2\sin^2\beta\,d\beta = L\dfrac{\pi}{2}.\] Таким образом, длина участка берега, до которого дойдут волны, порождённые взрывом, равна \(2y_m = \pi L\).