Прибрежные волны на море

Показатель преломления среды обратно пропорционален скорости волны в данной среде, поэтому преломление морских волн может быть рассчитано с помощью «оптического» закона Снеллиуса, который удобно записать в виде \[\dfrac{\sin\alpha_1}{v_1} = \dfrac{\sin\alpha'_2}{v_2},\] где \(\alpha_1\) и \(\alpha'_2\) — углы падения и преломления соответственно, \(v_1\) и \(v_2\) — скорости волн в соответствующей среде.

Рассмотрим преломление волны при прохождении через набор произвольных однородных изотропных сред, границы раздела между которыми являются параллельными плоскостями (рис. 226). Обозначим через \(v_1, v_2, \ldots, v_i\) скорости волны в каждой среде и предположим, что эффект полного внутреннего отражения отсутствует. Запишем законы преломления для каждой границы раздела сред и свойства равенства накрест лежащих углов: \[\dfrac{\sin\alpha_1}{v_1} = \dfrac{\sin\alpha'_2}{v_2},\qquad \alpha'_2 = \alpha_2,\qquad \dfrac{\sin\alpha_2}{v_2} = \dfrac{\sin\alpha'_3}{v_3},\qquad \alpha'_3 = \alpha_3,\qquad \ldots\] Последовательно объединяя записанные уравнения, получаем \[\dfrac{\sin\alpha_1}{v_1} = \dfrac{\sin\alpha_2}{v_2} = \dfrac{\sin\alpha_3}{v_3} = \ldots = \dfrac{\sin\alpha'_i}{v_i}, \qquad (267)\] откуда \[\sin\alpha'_i = \dfrac{v_i}{v_1}\cdot\sin\alpha_1. \qquad (268)\] Скорость волн зависит от расстояния до берега, поэтому море в целом является неоднородной средой, однако если разбить его на множество тонких вертикальных параллельных берегу слоёв, то каждый из них можно считать однородным. Поскольку \(H \gg \lambda \gg h\), скорости волн \(v_\alpha\) и \(v_\beta\) вдали и вблизи берега соответственно найдём из предельных случаев закона дисперсии: \[v_\alpha = \sqrt{\dfrac{g\lambda}{2\pi}},\qquad v_\beta = \sqrt{gh}. \qquad (269)\] Применяя результат (268) и выражения (269), получаем \[\beta = \arcsin\left(\dfrac{v_\beta}{v_\alpha}\sin\alpha\right) = \arcsin\left(\sqrt{\dfrac{2\pi h}{\lambda}}\sin\alpha\right) \approx 3{,}72^\circ.\] Конечный результат сходится с экспериментальными наблюдениями, согласно которым гребни прибрежных волн почти параллельны берегу независимо от их направления в открытом море.

Примечание. Отметим, что инвариант (267), записанный через скорости или показатели преломления, полезно помнить как готовый факт, так как он встречается и оказывается полезен во многих задачах.