Простенькая схемка

Установление постоянного тока через амперметр означает, что вызванные его подключением процессы перезарядки конденсаторов закончились и токи через конденсаторы больше не текут. В этом случае можно упростить схему, заменив каждый конденсатор на разрыв цепи (рис. 196). Для удобства обозначения узлов на схеме введена система координат \((x,y)\).

Рассмотрим произвольный контур, состоящий из двух источников и двух одинаковых резисторов (одну «клеточку» на схеме). Обозначив ЭДС источников через \(\mathcal{E}\), сопротивления резисторов через \(r\) и направив вправо токи \(i_1\) и \(i_2\) через верхний и нижний резисторы, запишем второе правило Кирхгофа: \[\mathcal{E} - \mathcal{E} = ri_1 - ri_2,\] откуда \[i_1 = i_2.\] Это означает, что силы токов через все одинаковые резисторы равны между собой и направлены в одну сторону, поэтому можно обозначить через \(I_1\), \(I_2\), \(I_3\), \(I_4\), \(I_5\) и \(I_6\) силы токов через резисторы сопротивлениями \(R\), \(2R\), \(3R\), \(4R\), \(5R\) и \(6R\) соответственно. Отметим, что обнаруженное равенство сил токов наблюдается только в случае идеальных источников, то есть таких, внутренним сопротивлением которых можно пренебречь по сравнению с \(R\).

Подключим амперметр к двум произвольным узлам \(C(x_1; y_1)\) и \(D(x_2; y_2)\), не лежащим на одной вертикали (в противном случае амперметр окажется подключённым напрямую к идеальным источникам и сила тока через него устремится к бесконечности). Без ограничения общности можно считать, что узел \(C\) лежит левее узла \(D\), то есть \(x_1 < x_2\), а ток силой \(I_A\) через амперметр направлен от \(D\) к \(C\). Чтобы было проще следить по рисунку за ходом рассуждений, удобно выбрать для себя какие-нибудь конкретные положения точек \(C\) и \(D\), например, считать \(C\) совпадающей с \(B\), а \(D\) — с \(A\).

Вертикальные прямые, проходящие через точки \(C\) и \(D\), разделяют схему на три части: левее \(C\), между \(C\) и \(D\), правее \(D\). В двух крайних частях цепи токов нет, так как токи через одинаковые резисторы текут в одну сторону, а на краях цепи заряду негде накапливаться и неоткуда взяться, поэтому далее будем рассматривать только среднюю часть цепи — между точками \(C\) и \(D\).

Сгруппируем узлы, лежащие на одной вертикали, в обобщённые узлы, тогда токи через источники станут для них внутренними, а внутренние токи не учитываются при записи первого правила Кирхгофа. В обобщённый узел с координатой \(x_1\) втекает ток силой \(I_A\), а вытекают \(x_1 + 1\) токов силой \(I_{x_1+1}\); в обобщённый узел с координатой \(x_1 + 1\) втекают те же \(x_1 + 1\) токов силой \(I_{x_1+1}\), а вытекают \(x_1 + 2\) токов силой \(I_{x_1+2}\); и т. д. до обобщённого узла с координатой \(x_2 - 1\), в который втекают \(x_2 - 1\) токов силой \(I_{x_2-1}\) и вытекают \(x_2\) токов силой \(I_{x_2}\). Тогда по первому правилу Кирхгофа \[I_A = (x_1 + 1)I_{x_1+1} = (x_1 + 2)I_{x_1+2} = \ldots = (x_2 - 1)I_{x_2-1} = x_2I_{x_2},\] откуда для любого \(x\) от \(x_1 + 1\) до \(x_2\) включительно находим \[I_x = \dfrac{I_A}{x}. \qquad (234)\] Рассмотрим следующий контур: начинаем из узла \(D(x_2; y_2)\), проходим через амперметр в узел \(C(x_1; y_1)\), проходим через резисторы \((x_1 + 1)R\), \((x_1 + 2)R\), …, \(x_2R\) по горизонтали до узла с координатой \(x_2\), проходим через \(|y_2 - y_1|\) источников по вертикали до узла \(D\). Запишем для этого контура второе правило Кирхгофа \[(y_2 - y_1)\cdot\mathcal{E} = (x_1 + 1)R\cdot I_{x_1+1} + (x_1 + 2)R\cdot I_{x_1+2} + \ldots + x_2R\cdot I_{x_2},\] откуда после подстановки выражения (234) получим \[(y_2 - y_1)\mathcal{E} = (x_2 - x_1)RI_A.\] Амперметр показывает абсолютную величину силы тока, поэтому \[I_A = \dfrac{\mathcal{E}}{R}\cdot\left|\dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\right| = \dfrac{\mathcal{E}}{R}\cdot\dfrac{\Delta y}{\Delta x}, \qquad (235)\] где \(\Delta x\) и \(\Delta y\) — модули разностей соответствующих координат точек подключения амперметра.

Используя выражение (235) и численные данные из условия, запишем \[\dfrac{I_{A2}}{I_{A1}} = \dfrac{\Delta x_1\cdot\Delta y_2}{\Delta x_2\cdot\Delta y_1} = 36, \qquad (236)\] где \(\Delta x_1\), \(\Delta y_1\), \(\Delta x_2\), \(\Delta y_2\) — модули разностей соответствующих координат точек подключения амперметра в первом и втором опытах соответственно. Поскольку все модули разностей координат являются натуральными числами от 1 до 6, условие (236) может быть выполнено только при \(\Delta x_1 = \Delta y_2 = 6\) и \(\Delta x_2 = \Delta y_1 = 1\). Следовательно, в первом опыте амперметр был подключен к точкам \(A_1(6; 1)\) и \(B_1(0; 0)\), а во втором — к \(A_2(6; 6)\) и \(B_2(5; 0)\).

Используя данные первого или второго опыта, из формулы (235) находим \[\dfrac{\mathcal{E}}{R} = I_{A1}\cdot\dfrac{\Delta x_1}{\Delta y_1} = I_{A2}\cdot\dfrac{\Delta x_2}{\Delta y_2} = 120\text{ мА}.\] Для вычисления силы тока через амперметр, подключённый к точкам \(A(5; 4)\) и \(B(3; 1)\), подставим в выражение (235) значения \(\Delta x_3 = 2\) и \(\Delta y_3 = 3\): \[I_{A3} = \dfrac{\mathcal{E}}{R}\cdot\dfrac{\Delta y_3}{\Delta x_3} = 180\text{ мА}.\]