Микроэлектромеханическое устройство

Малое сопротивление цепи позволяет считать, что все процессы перезарядки конденсатора происходят очень быстро, так что смещением верхней пластины за это время можно пренебречь.

1. Ёмкость плоского конденсатора \(C = \varepsilon_0S/d\). Заряд верхней пластины \(q = CU_1 = \varepsilon_0SU_1/d\). Напряжённость однородного электрического поля между обкладками конденсатора \(E = U_1/d\), причём каждая из пластин обеспечивает половину этой величины. Найдём искомую силу: \[F_1 = q\cdot\dfrac{E}{2} = \dfrac{\varepsilon_0SU_1^2}{2d^2}.\] В следующих пунктах будем считать, что пружина изначально не растянута и сила тяжести на верхнюю пластину не действует. Это упрощение не повлияет на результаты, так как силу упругости пружины можно представить в виде суммы её начального значения и её изменения, а поскольку согласно условию равновесия начальная сила упругости равна силе тяжести, они взаимно уничтожатся во всех уравнениях, в том числе при расчёте работы.

2. Поскольку напряжение \(U\) увеличивают медленно, расстояние \(x\) между пластинами уменьшается тоже медленно и можно считать, что электрическая сила в каждый момент времени уравновешивается силой упругости: \[\dfrac{\varepsilon_0SU^2}{2x^2} = k(d - x). \qquad (237)\] Данное уравнение является кубическим относительно \(x\), поэтому для его анализа применим графический метод. Графиком правой части уравнения является прямая, а левой — семейство квадратичных гипербол, зависящих от параметра \(U\). На рис. 197 показаны прямая и три характерные гиперболы для значений \(U\), равных \(V_1\), \(V_2\), \(V_3\) и удовлетворяющих условию \(V_1 < V_2 < V_3\).

При \(U = V_1\) уравнение имеет два корня (графики пересекаются при \(x_1\) и \(x_2\)), причём \(x_1\) соответствует устойчивому положению равновесия, а \(x_2\) — неустойчивому, что определяется по направлению результирующей силы, возникающей при небольшом отклонении от положения равновесия. Отсюда следует, что при плавном уменьшении \(x\) от значения \(d\) система окажется в состоянии \(x_1\) и уже не попадёт в состояние \(x_2\).

По мере увеличения \(U\) от \(V_1\) до \(V_2\) точки \(x_1\) и \(x_2\) приближаются друг к другу и сходятся в точке \(x_0\), соответствующей случаю касания гиперболы и прямой. Положение равновесия \(x_0\) является устойчивым при увеличении \(x\) и неустойчивым при уменьшении \(x\), поэтому при \(U = V_2\) подвижная пластина конденсатора начнёт двигаться ускоренно и пластины схлопнутся. Таким образом, искомое напряжение \(U_2 = V_2\). Отметим, что при \(U = V_3\) положений равновесия уже нет, так что пластины начнут схлопываться ускоренно при любом \(x\).

Для упрощения преобразований перепишем уравнение (237) в виде \[\dfrac{a}{2x^2} = d - x,\qquad\text{где}\qquad a = \dfrac{\varepsilon_0SU^2}{k}.\] В точке касания графиков функций должны быть равны не только значения функций, но и значения их производных, то есть \[\dfrac{a_0}{2x_0^2} = d - x_0,\qquad -\dfrac{a_0}{x_0^2} = -x_0,\qquad\text{где}\qquad a_0 = \dfrac{\varepsilon_0SU_2^2}{k}.\] Решая систему из этих двух уравнений, находим \[x_0 = \dfrac{2}{3}d = \sqrt[3]{a_0},\] откуда \[U_2 = \sqrt{\dfrac{8kd^3}{27\varepsilon_0S}}.\] Возможны и другие способы рассуждений, например нахождение \(U_2\) как максимального значения функции \(U(x)\) с аналогичным анализом устойчивости положений равновесия.

3. После размыкания цепи заряд на конденсаторе будет сохраняться, а потому напряжённость поля и электрическая сила, действующая на подвижную пластину, изменяться не будут. Пользуясь результатом первого пункта, находим \[F_3 = \dfrac{\varepsilon_0SU_3^2}{2d^2} = \text{const}.\] При минимальном значении \(U_3\) пластина сначала будет ускоряться, а затем замедляться из-за постепенного растяжения пружины, так что пластины схлопнутся с пренебрежимо малой скоростью. Из закона сохранения энергии \(F_3d = kd^2/2\) получаем \[U_3 = \sqrt{\dfrac{kd^3}{\varepsilon_0S}}.\] Отметим, что в данном случае потребовалось большее напряжение, чем во втором пункте, что вполне логично, так как в предыдущем случае по мере сближения пластин их заряд, напряжённость поля и сила взаимодействия существенно возрастали за счёт действия источника.

4. В этом пункте мы наоборот ожидаем получить меньшее напряжение, чем во втором случае, так как пластина может преодолеть участок между положениями равновесия \(x_1\) и \(x_2\) за счёт кинетической энергии, накопленной при разгоне на участке от \(d\) до \(x_1\).

Аналогично первому пункту находим электрическую силу, действующую на подвижную пластину, находящуюся на расстоянии \(x\) от неподвижной: \[F_4 = \dfrac{\varepsilon_0SU_4^2}{2x^2}.\] Работа этой силы на участке от \(d\) до \(x\): \[A = \int\limits_d^x\left(-\dfrac{\varepsilon_0SU_4^2}{2x^2}\right)dx = \dfrac{\varepsilon_0SU_4^2}{2}\left(\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{d}\right).\] С помощью закона сохранения энергии выразим кинетическую энергию: \[W = A - \dfrac{k(d - x)^2}{2} = \dfrac{\varepsilon_0SU_4^2(d - x)}{2xd} - \dfrac{k(d - x)^2}{2}.\] Пластина не остановится, если в каждой точке \(x \in (0; d)\) будет выполнено условие \(W \geqslant 0\), откуда после упрощения получаем неравенство \[x^2 - d\cdot x + \dfrac{\varepsilon_0SU_4^2}{kd} \geqslant 0.\] Графиком левой части является парабола с вершиной \(x_4 = d/2\), лежащей в рассматриваемом промежутке, поэтому для нахождения минимального \(U_4\) достаточно наложить условие на дискриминант: \[D = d^2 - \dfrac{4\varepsilon_0SU_4^2}{kd} = 0,\] откуда \[U_4 = \sqrt{\dfrac{kd^3}{4\varepsilon_0S}}.\] Примечание. Обратите внимание на упрощение рассуждений за счёт исключения из рассмотрения силы тяжести и начального растяжения пружины: это стандартный приём, полезный во многих подобных задачах.