Поршни под напряжением

Сравните давление газа и давление электрического поля как функции расстояния между поршнями и выясните, устойчиво ли найденное положение равновесия.

Положение равновесия неустойчиво: при увеличении напряжения поршни «схлопнутся», \(d=0\).

11-3. На поршни действуют: а) сила давления газа, которое можно вычислить по закону Бойля-Мариотта

\[P = \frac{P_0 V_0}{V} = P_0 \frac{d_0}{d},\tag{1}\]

«направленная наружу». б) сила электрического «давления» (с учетом \(E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}\))

\[P_{\text{эл}} = \sigma E' = \frac{\sigma E}{2} = \frac{\varepsilon_0 E^2}{2} = \frac{\varepsilon_0 U^2}{2d^2},\tag{2}\]

направленная «внутрь». В положении равновесия \(P = P_{\text{эл}}\) или \(P_0 \frac{d_0}{d} = \frac{\varepsilon_0 U^2}{2d^2}\), откуда следует

\[\frac{U^2}{d} = const = \frac{U_0^2}{d_0},\]

т.е.

\[d = d_0 \frac{U^2}{U_0^2}.\]

Из соотношения следует, что при увеличении напряжения в два раза, расстояние между поршнями должно увеличиться (?!) в четыре раза, что явно противоречит здравому смыслу.

Разрешение парадокса заключается в том, что в данной системе положение равновесия не является устойчивым. На рисунке изображены зависимости давления газа (кривая 1, формула (1)) и давления электрического поля (кривая 2, формула(2)) от расстояния \(d\) между поршнями. Точка их пересечения соответствует положению равновесия \(d_0\). При случайном отклонении поршней от этого положения возникает сила, еще дальше уводящая их от этого положения. Если расстояние случайно стало меньше \(d_0\), то сила электрического притяжения начинает превышать силу давления газа. При увеличении напряжения положение равновесия смещается в сторону больших значений \(d\) (на рисунке кривая 3 соответствует большему напряжению, точка \(d'\) - новое положение равновесия - и тоже неустойчивое), однако, поршни не стремятся к этому новому положению равновесия, а, наоборот уходят от него.

Таким образом, ответ задачи: поршни «схлопнутся», т.е. \(d=0\)! Более подробное доказательство неустойчивости положения равновесия приведено в журнале «Фокус» №3 за 1995год.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.