Перемычки в быстро включённом поле

Быстрое включение поля даёт перемычкам импульс (сумма \(B\,\Delta B\)), а дальше они тормозятся силой Ампера. Для торможения запишите изменение скорости через пройденный путь.

Расстояние между перемычками уменьшилось в 2 раза.

11-4. Найдем скорость, которую приобретет каждая перемычка в ходе быстрого включения поля.

При изменении магнитного поля возникает эдс индукции

\[E_{\text{инд}} = a l_0 \frac{\Delta B}{\Delta t},\]

где \(a\) — расстояние между рельсами, \(l_0\) — начальное расстояние между перемычками. (Так как поле изменяется быстро, что смещением перемычек за время «включения» пренебрегаем.)

В контуре возникнет электрический ток силой

\[I = \frac{E_{\text{инд}}}{R} = \frac{a l_0}{R} \frac{\Delta B}{\Delta t},\]

(\(R\) — общее сопротивление перемычек).

Сила, действующая на перемычку (внутрь)

\[F = I B a = \frac{a^2 l_0}{R} B \frac{\Delta B}{\Delta t}.\]

Импульс, приобретенный перемычкой

\[m v = \sum F \Delta t = \frac{a^2 l_0}{R} \sum B \Delta B = \frac{a^2 l_0}{R} \frac{B_0^2}{2},\]

где \(B_0\) — индукция включенного поля.

Отсюда скорость, которую приобретут перемычки равна \(v_0 = \frac{a^2 l_0}{2 R m} B_0^2\).

Дальше перемычки движутся в постоянном поле \(B_0\). При этом в контуре также возникает эдс индукции

\[E_{\text{инд}} = \frac{\Delta \Phi}{\Delta t} = B_0 a \frac{\Delta l}{\Delta t} = 2 B_0 a v,\]

\(v\) — текущее значение скорости. (коэффициент 2 появился из-за того, что движутся две перемычки.)

Тормозящая сила, действующая на одну из перемычек равна

\[F = I B a = \frac{E_{\text{инд}}}{R} B_0 a = 2 \frac{B_0^2 a^2}{R} v.\]

Запишем уравнение второго закона Ньютона:

\[m \frac{\Delta v}{\Delta t} = -2 \frac{B_0^2 a^2}{R} v,\]

учитывая, что \(v = \frac{\Delta x}{\Delta t}\), получим

\[m \frac { \Delta v } { \Delta x } = - 2 \frac { B _ { 0 } ^ { 2 } a ^ { 2 } } { R } ,\]

т.е. до остановки каждая перемычка пройдет расстояние

\[x _ { 1 } = \frac { m v _ { 0 } R } { 2 B _ { 0 } ^ { 2 } a ^ { 2 } } = \frac { m R } { 2 B _ { 0 } ^ { 2 } a ^ { 2 } } \frac { B _ { 0 } ^ { 2 } a ^ { 2 } l _ { 0 } } { 2 R m } = \frac { l _ { 0 } } { 4 } .\]

Окончательно, расстояние между перемычками уменьшится на \(2 x _ { 1 } = \frac { l _ { 0 } } { 2 }\),

т.е. уменьшится в два раза. Интересно отметить, что результат не зависит от параметров задачи.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.