Униполярный электродвигатель

Ротор разгоняется механическим моментом силы Ампера, возникающим в результате взаимодействия радиального тока с магнитным полем диска. С учётом полярности подключения источника и направления магнитного поля, отмеченного на рисунке в условии, отсюда сразу следует ответ на первый вопрос: вращение будет происходить против часовой стрелки, если смотреть сверху. По мере разгона ротора увеличивается ЭДС индукции, направленная в соответствии с правилом Ленца против ЭДС источника, что приводит к уменьшению тока в цепи и момента силы Ампера. Когда момент силы Ампера сравняется с моментом силы трения, разгон ротора прекратится и он продолжит вращение с установившейся частотой \(\nu\).

Для расчёта ЭДС индукции рассмотрим движение пробного заряда \(q\) вдоль радиуса \(AC\) при вращении ротора с угловой скоростью \(\omega\) (рис. 198). Пусть \(x\) — расстояние от заряда до оси вращения в рассматриваемый момент времени, тогда тангенциальная проекция скорости заряда \(v_y = \omega x\), радиальная проекция силы Лоренца \(F_x = qv_yB = qB\omega x\), работа сторонних сил против силы Лоренца

\[A = \int\limits_0^rF_x(x)\,dx = \dfrac{1}{2}qB\omega r^2,\] ЭДС индукции \[\mathcal{E}_i = \dfrac{A}{q} = \dfrac{1}{2}B\omega r^2.\] В отсутствие трения ротор будет вращаться с такой установившейся угловой скоростью \(\omega_{\max}\), при которой ток в цепи прекратится из-за равенства ЭДС источника и ЭДС индукции: \[\mathcal{E} = \dfrac{1}{2}B\omega_{\max}r^2,\qquad\text{откуда}\qquad \omega_{\max} = \dfrac{2\mathcal{E}}{Br^2}.\] Таким образом, \[\nu_{\max} = \dfrac{\omega_{\max}}{2\pi} = \dfrac{\mathcal{E}}{\pi Br^2} \approx 1200\text{ Гц}.\] Рассмотрим теперь случай с трением. По закону Ома находим силу тока в цепи: \[I = \dfrac{\mathcal{E} - \mathcal{E}_i}{R} = \dfrac{2\mathcal{E} - B\omega r^2}{2R}.\] Расстояние \(x\) от оси ротора до элемента тока \(I\,dx\) является плечом соответствующей силы Ампера, поэтому можем найти суммарный момент силы Ампера: \[M = \int\limits_0^rx\cdot I\,dx\cdot B = \dfrac{Br^2}{4R}(2\mathcal{E} - B\omega r^2).\] В процессе установившегося вращения моменты сил Ампера и трения компенсируют друг друга: \[\dfrac{Br^2}{4R}(2\mathcal{E} - B\omega r^2) = F_0r,\] откуда \[\omega = \dfrac{2Br\mathcal{E} - 4F_0R}{B^2r^3}.\] Окончательно находим \[\nu = \dfrac{\omega}{2\pi} = \dfrac{Br\mathcal{E} - 2F_0R}{\pi B^2r^3} \approx 120\text{ Гц}.\] Отметим, что выражение для \(\nu\) тождественно равно \(\nu_{\max}\) при \(F_0 = 0\), что может использоваться как проверка общего ответа для предельных случаев или как альтернативный способ нахождения \(\nu_{\max}\).

Примечание. Может показаться, что рассмотренный двигатель не должен работать: в отличие от традиционного устройства, в предлагаемой модели ротор совмещён со статором! Это напоминает барона Мюнхгаузена, вытаскивающего себя из болота за собственные волосы: механический момент возникает в результате взаимодействия магнитного поля ротора с током, текущим в нём самом! Однако эксперимент полностью подтверждает теоретическое решение и наглядно иллюстрирует выполнение закона сохранения момента импульса: если всю конструкцию подвесить на нитке, то источник тока с подводящими проводами будет крутиться в сторону, противоположную вращению ротора.