Отражения

Построить изображение в оптической системе с зеркалом можно, не только отразив лучи в зеркале, но и отразив все элементы системы в зеркале и удалив рассматриваемое зеркало.

Применим этот метод в данной задаче. Построим изображение одного из зеркал во втором и удалим второе зеркало, повторим эту операцию для новой пары зеркал и т. д. После большого числа отражений множество удалённых зеркал и их изображений будет иметь вид кольца с центром \(O\) и радиусом \(R \approx a/\varphi \gg D\) (рис. 225).

Луч, идущий на рисунке прямолинейно внутри этого кольца, на самом деле отражается при каждом пересечении изображения удалённого зеркала, то есть испытывает примерно одно отражение на каждом своём отрезке длиной \(a\). Наибольшее число отражений будет иметь самый длинный луч, то есть луч \(AB\), концы \(A\) и \(B\) которого расположены вблизи одного края зеркала, а середина \(C\) — вблизи противоположного, причём в зависимости от чётности числа отражений указанные точки могут оказаться как на одном, так и на обоих зеркалах, что в любом случае не влияет на ответ. Таким образом, можем найти искомое число отражений: \[N = \dfrac{AB}{a} = \dfrac{2AC}{a} = \dfrac{2\sqrt{OA^2 - OC^2}}{a} = \dfrac{2\sqrt{R^2 - (R - D)^2}}{a} =\] \[= \dfrac{2\sqrt{2RD - D^2}}{a} \approx \dfrac{2\sqrt{2RD}}{a} = 2\sqrt{\dfrac{2D}{\varphi a}} = 200.\]