Сферический аквариум

Одно изображение дают лучи, один раз преломившиеся на стенке аквариума, другое — лучи, сначала отразившиеся от зеркала, а затем дважды преломившиеся (как от изображения рыбки в зеркале). Наблюдатель далеко, поэтому достаточно найти, на каком расстоянии от оси выходят лучи, параллельные оси; углы малы.

За малый промежуток времени \(\Delta t\) рыбка смещается вверх из точки \(A\) в точку \(B\) на малое расстояние \(d = v\Delta t\). Поскольку стеклянная стенка очень тонкая, можно считать, что выходящие из аквариума лучи преломляются как на границе вода — воздух. Расходящиеся лучи, испытавшие одно преломление, как показано на рис. 4.1, образуют первое, мнимое, изображение рыбки. Соответствующее вертикальное смещение \(A_1B_1\) этого изображения равно расстоянию \(d_1\) между оптической осью \(a\) и лучом \(b_1\), который выходит из аквариума параллельно \(a\). Так как расстояния \(d\) и \(d_1\) малы по сравнению с \(R\), можно пользоваться приближением малых углов: \(\sin\alpha \approx \operatorname{tg}\alpha \approx \alpha\) (рад). Таким образом, получаем \[d_1 \approx R\alpha; \tag{4.1}\] \[d \approx R\gamma; \tag{4.2}\] \[\alpha + \gamma = 2\beta; \tag{4.3}\] \[\alpha \approx n\beta. \tag{4.4}\] Из уравнений (4.1)–(4.4) находим вертикальное смещение первого изображения через \(d\): \[d_1 = \frac{n}{2-n}\,d, \tag{4.5}\] и соответственно его скорость \(v_1\) через \(v\): \[v_1 = \frac{n}{2-n}\,v = 2v. \tag{4.6}\]

Лучи, которые сначала отражаются от зеркала, а затем дважды преломляются на стенках аквариума, образуют второе, действительное, изображение (см. рис. 4.2). Можно считать, что они исходят от зеркального изображения рыбки, которое движется вдоль прямой \(A'B'\) на точно такое же расстояние \(d\), что и рыбка.

Вертикальное смещение \(A_2B_2\) второго изображения равно расстоянию \(d_2\) между оптической осью \(a\) и лучом \(b_2\), параллельным \(a\). Снова в приближении малых углов имеем \[d' \approx 4R\delta - d, \tag{4.7}\] \[d_2 \approx R\alpha. \tag{4.8}\] Повторяя вывод уравнения (4.5), получаем \[d_2 = \frac{n}{2-n}\,d'. \tag{4.9}\] Теперь, используя точные геометрические соотношения \[\delta = 2\alpha - 2\beta \tag{4.10}\] и закон Снеллиуса (4.4) в пределе малых углов, окончательно выражаем \(d_2\) через \(d\): \[d_2 = \frac{n}{9n-10}\,d, \tag{4.11}\] и скорость \(v_2\) второго изображения через \(v\): \[v_2 = \frac{n}{9n-10}\,v = \frac{2}{3}\,v. \tag{4.12}\] Относительная скорость двух изображений в векторной форме \[\mathbf v_{\text{отн}} = \mathbf v_1 - \mathbf v_2. \tag{4.13}\] Поскольку векторы \(\mathbf v_1\) и \(\mathbf v_2\) направлены противоположно (одно изображение движется вверх, другое — вниз), модуль относительной скорости равен \[v_{\text{отн}} = v_1 + v_2 = \frac{8}{3}\,v. \tag{4.14}\]