Ртутный барометр

Давление водорода равно давлению воздуха минус давление столба ртути, объём водорода — \(S(H - h_i)\), где \(H\) — неизвестная высота трубки над ванночкой. Запишите уравнение состояния водорода для всех четырёх состояний, учитывая зависимость плотности ртути от температуры.

Обозначим через \(H\) (\(H = \mathrm{const}\)) высоту трубки над уровнем ртути в ванночке, а через \(h_i\) — высоту столба ртути в трубке. В условиях механического равновесия давление водорода в трубке \[P_{\mathrm H_2} = P_{\text{возд}} - \rho g h_i, \tag{2.1}\] где \(\rho\) — плотность ртути при температуре \(t_i\): \[\rho = \rho_0(1 - \beta t). \tag{2.2}\] Индекс \(i\) нумерует различные состояния, через которые проходит система, \(\rho_0\) — плотность ртути при \(t_0 = 0\,^\circ\)C, или \(T_0 = 273\text{ К}\), а \(\beta\) — её коэффициент расширения. Объём водорода равен \[V_i = S(H - h_i). \tag{2.3}\]

Теперь запишем уравнения состояния водорода в точках 0, 1, 2 и 3 диаграммы \(PV\) (см. рис. 2): \[(P_0 - \rho_0 g h_0)\,S(H - h_0) = \frac{m}{M}RT_0; \tag{2.4}\] \[(P_1 - \rho_0 g h_1)\,S(H - h_1) = \frac{m}{M}RT_0; \tag{2.5}\] \[(P_2 - \rho_1 g h_2)\,S(H - h_2) = \frac{m}{M}RT_2, \tag{2.6}\] где \(P_2 = \dfrac{P_1T_2}{T_0}\), \(\rho_1 = \dfrac{\rho_0}{1 + \beta(T_2 - T_0)} \approx \rho_0\left[1 - \beta(T_2 - T_0)\right]\), поскольку процесс 1–3 изохорный, и

\[(P_2 - \rho_2 g h_3)\,S(H - h_3) = \frac{m}{M}RT_3, \tag{2.7}\] где \(\rho_2 \approx \rho_0\left[1 - \beta(T_3 - T_0)\right]\), \(T_3 = T_2\dfrac{V_3}{V_2} = T_2\dfrac{H - h_3}{H - h_2}\) для изобарного процесса 2–3.

После довольно громоздких алгебраических преобразований эту систему уравнений можно решить относительно неизвестных величин — это упражнение оставлено читателю. Численные ответы тем не менее приведём для справки: \[H \approx 1{,}3\text{ м}; \quad m \approx 2{,}11\cdot 10^{-6}\text{ кг}; \quad T_2 \approx 364\text{ К};\] \[P_2 \approx 1{,}067\cdot 10^5\text{ Па}; \quad T_3 \approx 546\text{ К}; \quad P_2 \approx 4{,}8\cdot 10^4\text{ Па}.\]