Связанные грузы на призме

Запишите второй закон Ньютона для брусков и для призмы в проекциях на горизонтальную и вертикальную оси. Сложив горизонтальные уравнения для всех трёх тел, вы избавитесь от внутренних сил: горизонтальный импульс системы сохраняется.

Бруски скользят относительно призмы с ускорениями \(\mathbf a_1\) и \(\mathbf a_2\), которые параллельны её граням и имеют одинаковый модуль \(a\) (см. рис. 1.1). Относительно земли бруски движутся с ускорениями \[\mathbf w_1 = \mathbf a_1 + \mathbf a_0; \tag{1.1}\] \[\mathbf w_2 = \mathbf a_2 + \mathbf a_0. \tag{1.2}\] Спроецируем \(\mathbf w_1\) и \(\mathbf w_2\) на оси \(x\) и \(y\): \[w_{1x} = a\cos\alpha_1 - a_0; \tag{1.3}\] \[w_{1y} = a\sin\alpha_1; \tag{1.4}\] \[w_{2x} = a\cos\alpha_2 - a_0; \tag{1.5}\] \[w_{2y} = -a\sin\alpha_2. \tag{1.6}\]

Уравнения движения брусков и призмы в векторной форме (см. рис. 1.2): \[m_1\mathbf w_1 = m_1\mathbf g + \mathbf R_1 + \mathbf T_1; \tag{1.7}\] \[m_2\mathbf w_2 = m_2\mathbf g + \mathbf R_2 + \mathbf T_2; \tag{1.8}\] \[M\mathbf a_0 = M\mathbf g - \mathbf R_1 - \mathbf R_2 + \mathbf R - \mathbf T_1 - \mathbf T_2. \tag{1.9}\]

Силы натяжения \(\mathbf T_1\) и \(\mathbf T_2\) на концах нити имеют одинаковый модуль \(T\), поскольку массы нити и блока пренебрежимо малы. Заметим, что в уравнении (1.9) учтена результирующая сила \(-(\mathbf T_1 + \mathbf T_2)\), с которой перегнутая нить действует на призму через блок. В проекциях на \(x\) и \(y\) уравнения движения дают систему из шести скалярных уравнений: \[m_1 a\cos\alpha_1 - m_1 a_0 = T\cos\alpha_1 - R_1\sin\alpha_1; \tag{1.10}\] \[m_1 a\sin\alpha_1 = T\sin\alpha_1 + R_1\cos\alpha_1 - m_1 g; \tag{1.11}\] \[m_2 a\cos\alpha_2 - m_2 a_0 = -T\cos\alpha_2 + R_2\sin\alpha_2; \tag{1.12}\] \[m_2 a\sin\alpha_2 = T\sin\alpha_2 + R_2\sin\alpha_2 - m_2 g; \tag{1.13}\] \[-Ma_0 = R_1\sin\alpha_1 - R_2\sin\alpha_2 - T\cos\alpha_1 + T\cos\alpha_2; \tag{1.14}\] \[0 = R - R_1\cos\alpha_1 - R_2\cos\alpha_2 - Mg. \tag{1.15}\]

Складывая уравнения (1.10), (1.12) и (1.14), получаем, что все внутренние силы системы взаимно уничтожаются. Так находим искомую связь между ускорениями \(a\) и \(a_0\): \[a = a_0\,\frac{M + m_1 + m_2}{m_1\cos\alpha_1 + m_2\cos\alpha_2}. \tag{1.16}\] Непосредственное исключение неизвестных сил даёт окончательный ответ для \(a_0\): \[a_0 = \frac{(m_1\sin\alpha_1 - m_2\sin\alpha_2)(m_1\cos\alpha_1 + m_2\cos\alpha_2)}{(m_1 + m_2 + M)(m_1 + m_2) - (m_1\cos\alpha_1 + m_2\cos\alpha_2)^2}. \tag{1.17}\] Из уравнения (1.17) следует, что призма будет в равновесии (\(a_0 = 0\)), если \[\frac{m_1}{m_2} = \frac{\sin\alpha_2}{\sin\alpha_1}. \tag{1.18}\]