Батареи, конденсаторы и резисторы в кубе

Перерисуйте куб в виде плоской схемы. В установившемся режиме ток через конденсаторы не идёт, поэтому ток течёт только по контуру с резисторами; напряжения на конденсаторах находите по правилу Кирхгофа для подходящих контуров.

Схема, эквивалентная данной, показана на рис. 3. В стационарном режиме (конденсаторы уже полностью заряжены) один и тот же ток \(I\) течёт через все резисторы в замкнутом контуре ABFGHDA. По второму правилу Кирхгофа получаем \[I = \frac{E_4 - E_1}{4R}. \tag{3.1}\] Далее применим это правило к контуру ABCDA: \[V_1 + IR = E_2 - E_1, \tag{3.2}\] где \(V_1\) — разность потенциалов на конденсаторе \(C_1\). Используя выражение (3.1) для \(I\) и уравнение (3.2), получаем \[V_1 = E_2 - E_1 - \frac{E_4 - E_1}{4} = 1\text{ В}. \tag{3.3}\] Аналогично находим разности потенциалов \(V_2\) и \(V_4\) на конденсаторах \(C_2\) и \(C_4\), рассматривая контуры BFGCB и FGHEF: \[V_2 = E_4 - E_2 - \frac{E_4 - E_1}{4} = 5\text{ В}, \tag{3.4}\] \[V_4 = E_4 - E_3 - \frac{E_4 - E_1}{4} = 1\text{ В}. \tag{3.5}\] Наконец, напряжение \(V_3\) на \(C_3\) находим, применяя правило Кирхгофа к внешнему контуру EHDAH: \[V_3 = E_3 - E_1 - \frac{E_4 - E_1}{4} = 5\text{ В}. \tag{3.6}\]

Полная энергия конденсаторов выражается формулой \[W = \frac{C}{2}\left(V_1^2 + V_2^2 + V_3^2 + V_4^2\right) = 26\text{ мкДж}. \tag{3.7}\]

Когда точки B и H замкнуты накоротко, один и тот же ток \(I'\) течёт через резисторы контура BFGH. Снова с помощью правила Кирхгофа можно найти, что \[I' = \frac{E_4}{2R}. \tag{3.8}\] Новое стационарное напряжение на \(C_2\) находим, рассматривая контур BFGCB: \[V_2' + I'R = E_4 - E_2, \tag{3.9}\] или окончательно \[V_2' = \frac{E_4}{2} - E_2 = 0\text{ В}. \tag{3.10}\] Следовательно, заряд \(q_2'\) конденсатора \(C_2\) в новом стационарном режиме равен нулю.