Задачи › Плоское зеркало

Потерянное зеркало

  1. Потерянное зеркало

    ВсОШ 2011/12, 9 кл.
    6/10

    В архиве Снеллиуса нашли чертёж, на котором были изображены два плоских зеркала \(M_1\) и \(M_2\), образующие двугранный угол \(\varphi\), точечный источник света \(S\) и область \(AOB\) (она заштрихована), из которой можно было видеть одновременно оба изображения источника. От времени чернила выцвели, и невозможно стало разглядеть, как расположено зеркало \(M_2\) и точечный источник \(S\) (рис. 8).

    Рисунок

    Восстановите по имеющимся данным с помощью циркуля и линейки без делений положение зеркала \(M_2\) и геометрическое место точек, где бы мог находиться источник \(S\). Зеркала считайте полубесконечными.

    Вычислите угол \(\varphi\) между плоскостями зеркал, если \(\angle AOB = \angle\alpha = 30^\circ\).

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Изображение точечного источника в плоском зеркале симметрично источнику относительно плоскости зеркала. Подумайте, на каком продолжении лучей OA и OB может лежать изображение, если из области AOB видны оба изображения.

    Ответ

    Зеркало \(M_2\) проходит по биссектрисе угла \(\angle COA_1\); источник \(S\) может находиться на луче \(OC\);  \(\varphi = 15^\circ\).

    Решение

    Зеркала, по условию, образуют двугранный угол. Область, из которой видны оба изображения источника, содержит точку \(O\) каждого зеркала. Значит, зеркала пересекаются в точке \(O\). Область, из которой видно изображение источника \(S\) в зеркале \(M_1\), ограничивается лучом \(OB\) (если бы она ограничивалась лучом \(OA\), в области \(AOB\) не было бы видно изображения в этом зеркале). Значит, изображение источника в зеркале \(M_1\) находится на продолжении прямой \(BO\) за точку \(O\) (рис. 21). Аналогично, изображение источника в зеркале \(M_2\) находится на продолжении прямой \(AO\) за точку \(O\).

    Рисунок

    Геометрическое место точек, где мог бы находиться источник, — это луч \(OC\), получающийся отражением луча \(OB_1\) в зеркале \(M_1\) (\(\angle B_1OM_1 = \angle COM_1\)).

    Поскольку источник \(S\), лежащий на луче \(OC\), при отражении в зеркале \(M_2\) должен попасть на луч \(OA_1\), то зеркало \(OM_2\) лежит на биссектрисе угла \(\angle COA_1\).

    Луч \(OA_1\) — это изображение луча \(OC\) в зеркале \(M_2\). При повороте зеркала \(M_2\) на угол \(\varphi\) изображение луча \(OC\) повернётся на угол \(2\varphi\). При этом плоскость зеркала \(M_2\) перейдёт в плоскость зеркала \(M_1\), а луч \(OA_1\) перейдёт в луч \(OB_1\). Значит, \[\angle A_1OB_1 = 2\varphi = \angle AOB = 30^\circ, \qquad \text{откуда} \qquad \varphi = 15^\circ.\]

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх