Пружина и шарик

До касания пружины изменение кинетической энергии равно работе силы тяжести, и это даёт начальный линейный участок графика. После касания добавляется энергия деформированной пружины; подумайте, при какой высоте кинетическая энергия достигает максимума.

На первом участке падения (до касания пружины, \(L_0 < h < H\)) кинетическая энергия шарика равна уменьшению его потенциальной энергии: \[E_k = mg(H - h).\] Таким образом, по наклону начального линейного участка графика находим \[mg = \frac{\Delta E_k}{\Delta h} = 5~\text{Н}, \qquad \text{откуда} \qquad m = 0{,}5~\text{кг}.\] Длину пружины \(L_0\) определим по значению \(h\), при котором нарушается линейный характер зависимости \(E_k(h)\): \[L_0 = 1{,}5~\text{м}.\] После контакта шарика с пружиной уменьшение его потенциальной энергии равно сумме кинетической энергии шарика и потенциальной энергии деформированной пружины: \[mg(H - h) = \frac{k(L_0 - h)^2}{2} + E_k.\] Мы получили квадратное уравнение относительно \(h\). Максимум квадратичной функции вида \(y = ax^2 + bx + c\) достигается при \(x_m = -b/(2a)\). Следовательно, значение \(h_m\), при котором кинетическая энергия шарика максимальна, определяется выражением \[h_m = L_0 - \frac{mg}{k}.\] Из графика видно, что максимум кинетической энергии достигается при \[h_m = 1{,}375~\text{м}.\] Приравнивая два последних выражения, находим \(k = 40\) Н/м.