Задачи › Теплопроводность, закон охлаждения Ньютона

Предварительный подогрев

  1. Предварительный подогрев

    ВсОШ 2011/12, 9 кл.
    6/10

    В лаборатории у экспериментатора Глюка были электронагреватель с мешалкой, термостат и два тонкостенных химических стакана, линейные размеры которых отличались в 2 раза (толщина стенок стаканов одинакова). В термостате поддерживалась постоянная температура \(t_1 = 20\,^\circ\text{C}\) (рис. 2). Глюк решил исследовать, как зависит температура жидкости в стакане от времени (мешалка нужна для быстрого выравнивания температуры по всему объёму стакана).

    Рисунок

    Сначала он использовал стакан меньшего размера, который заполнил исследуемой жидкостью при температуре \(t_1 = 20\,^\circ\text{C}\) и поместил в термостат. Включив электронагреватель, Глюк обнаружил, что за первые \(\tau_1 = 10\) с система нагрелась на \(\Delta t_1 = 1\,^\circ\text{C}\). Спустя продолжительное время температура жидкости установилась на отметке \(t_2 = 40\,^\circ\text{C}\).

    Во втором эксперименте он взял больший стакан, заполнил его той же жидкостью, нагретой до температуры \(t_3 = 35\,^\circ\text{C}\), и включил тот же нагреватель в сеть. Через некоторое время \(\tau_2\) он с удивлением обнаружил, что температура содержимого в стакане понизилась на \(\Delta t_2 = 0{,}5\,^\circ\text{C}\).

    Считайте, что теплоёмкость стаканов мала по сравнению с теплоёмкостью содержащейся в них жидкости.

    1. Найдите температуру \(t_4\), которая установится в стакане спустя продолжительное время.

    2. Вычислите время \(\tau_2\).

    Примечание. Известно, что поток энергии, проходящий через слой вещества (стенки стакана) в единицу времени, прямо пропорционален разнице температур на границах слоя и площади поверхности слоя.

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    В установившемся режиме мощность нагревателя равна тепловым потерям через стенки, а потери пропорциональны площади поверхности, которая для подобных стаканов растёт как квадрат линейного размера.

    Ответ

    1) \(t_4 = 25\,^\circ\text{C}\);  2) \(\tau_2 \approx 20\) с.

    Решение

    Заметим, что мощность тепловых потерь стакана \(N_1 = \alpha S(t_i - t_1)\), где \(S\) — площадь внешней поверхности стакана, \(t_i\) — температура жидкости в стакане, \(\alpha\) — коэффициент пропорциональности.

    Запишем уравнение теплового баланса для первого стакана: \[Q_1 = m_1 C\,\Delta t_1 = (N_0 - N_1)\tau_1 \approx N_0\tau_1,\] где \(N_0\) — мощность нагревателя, \(C\) — удельная теплоёмкость жидкости в стакане, \(m_1 = \rho V_1\) — масса жидкости в первом стакане. Тепловыми потерями пренебрегаем из-за малой разности температур.

    Когда процесс теплообмена установится, то \[N_0 = N_1, \qquad \text{или} \qquad N_0 = \alpha S_1 (t_2 - t_1).\]

    Аналогичным образом для второго случая запишем: \[Q_2 = m_2 C\,\Delta t_2 \approx \bigl(N_0 - \alpha S_2 (t_3 - t_1)\bigr)\tau_2, \qquad N_0 = \alpha S_2 (t_4 - t_1).\]

    Из свойств подобия следует, что \(S \sim l^2\), \(V \sim l^3\), откуда \(S_2 = 4S_1\), \(m_2 = 8m_1\). Из двух последних условий получаем \(S_1(t_2 - t_1) = 4S_1(t_4 - t_1)\), или \(t_4 = 25\,^\circ\text{C}\).

    Из условия установления для первого стакана \(\alpha S_1 = \dfrac{N_0}{t_2 - t_1}\).

    Искомое время \(\tau_2\) найдём из уравнения баланса для второго стакана с учётом \(Q_1\): \[\tau_2 \approx \frac{8 m_1 C\,\Delta t_2}{N_0 - 4\alpha S_1 (t_3 - t_1)}, \qquad \tau_1 \approx \frac{m_1 C\,\Delta t_1}{N_0}.\] Поделив первое выражение на второе с учётом \(\alpha S_1\), получим \[\tau_2 \approx \tau_1\,\frac{8\,\Delta t_2}{\Delta t_1}\, \frac{t_2 - t_1}{(t_2 - t_1) - 4(t_3 - t_1)} \approx 20~\text{с}.\]

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх