Поплавок в ракете

В ускоренной системе сила Архимеда зависит от ускорения: подумайте, как меняется эффективная сила тяжести. Затем сравните условие равновесия в покое с уравнением движения поплавка.

Сила Архимеда зависит от ускорения системы. Действительно, если мысленно заменить водой погружённую в воду часть тела и записать для неё второй закон Ньютона, то получится \(V_{\text{погр}}\rho_0 a = F_A - V_{\text{погр}}\rho_0 g\), где \(F_A\) — сила, действующая со стороны окружающей жидкости на погружённый объём, откуда \[F_A = V_{\text{погр}}\rho_0 (g + a).\]

1. Условие равновесия поплавка в неподвижной ракете: \[0 = (V - zS)\rho_0 g - V\rho g - kx_0,\] где \(V\) — объём поплавка, \(z\) — высота выступающей над поверхностью воды части. Предположим, что при ускоренном движении глубина погружения поплавка не изменилась. Тогда второй закон Ньютона для поплавка примет вид \[V\rho a = (V - zS)\rho_0 (g + a) - V\rho g - kx_0.\] Сравнивая это равенство с условием равновесия, видим, что оно возможно лишь при отсутствии ускорения или при увеличении \(x_0\). Значит, предположение неверно, поплавок всплывёт.

2. Пусть искомое изменение высоты выступающей части равно \(x\). Второй закон Ньютона для поплавка в проекции на вертикальную ось при ускоренном движении: \[V\rho a = (V - zS - xS)\rho_0 (g + a) - V\rho g - k(x_0 + x).\] Подставив выражение для \((V - zS)\) из условия равновесия, получим \[kx_0 a = kxg + \rho_0(g + a)xSg.\] Окончательно \[x = \frac{k\,x_0\,a}{\left(k + \rho_0 S(g + a)\right) g}.\]

3. При ускорении \(a = 3g\) находим \(x \approx 2{,}14\) см.